Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106957 / 100799
↖ ↑ ↗
← S 69.098960°
E113.766174°		 ← 108.96 m → S 69.098960°
E113.768921°		 →
↑
108.94 m
↓
↑
108.94 m
↓
S 69.099940°
E113.766174°		 ← 108.96 m →
11 871 m²		 S 69.099940°
E113.768921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816020965576172 y=0.769039154052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816020965576172 × 217)
    floor (0.816020965576172 × 131072)
    floor (106957.5)     		tx = 106957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769039154052734 × 217)
    floor (0.769039154052734 × 131072)
    floor (100799.5)     		ty = 100799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106957 / 100799 ti = "17/106957/100799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106957/100799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106957 ÷ 217
    106957 ÷ 131072     		x = 0.816017150878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100799 ÷ 217
    100799 ÷ 131072     		y = 0.769035339355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816017150878906 × 2 - 1) × π
    0.632034301757812 × 3.1415926535     		Λ = 1.98559432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769035339355469 × 2 - 1) × π
    -0.538070678710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.69039889130204
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98559432} λ = 1.98559432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69039889130204))-π/2
    2×atan(0.184445935437705)-π/2
    2×0.182395983955366-π/2
    0.364791967910733-1.57079632675     		φ = -1.20600436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98559432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.766174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20600436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.098960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106957 KachelY 100799 1.98559432 -1.20600436 113.766174 -69.098960
    Oben rechts KachelX + 1 106958 KachelY 100799 1.98564226 -1.20600436 113.768921 -69.098960
    Unten links KachelX 106957 KachelY + 1 100800 1.98559432 -1.20602146 113.766174 -69.099940
    Unten rechts KachelX + 1 106958 KachelY + 1 100800 1.98564226 -1.20602146 113.768921 -69.099940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20600436--1.20602146) × R
    1.70999999999921e-05 × 6371000     		dl = 108.94409999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20600436--1.20602146) × R
    1.70999999999921e-05 × 6371000     		dr = 108.94409999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98559432-1.98564226) × cos(-1.20600436) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.356754957994322 × 6371000     		do = 108.962147044518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98559432-1.98564226) × cos(-1.20602146) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.356738983156393 × 6371000     		du = 108.957267917822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20600436)-sin(-1.20602146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356754957994322-0.356738983156393)×R²
    abs(1.98564226-1.98559432)×1.59748379287561e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.59748379287561e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.59748379287561e-05×40589641000000     		ar = 11870.5172679707m²