Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106956 / 44189
↖ ↑ ↗
← N 50.462750°
E113.763428°		 ← 194.43 m → N 50.462750°
E113.766174°		 →
↑
194.44 m
↓
↑
194.44 m
↓
N 50.461001°
E113.763428°		 ← 194.44 m →
37 806 m²		 N 50.461001°
E113.766174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816013336181641 y=0.337139129638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816013336181641 × 217)
    floor (0.816013336181641 × 131072)
    floor (106956.5)     		tx = 106956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337139129638672 × 217)
    floor (0.337139129638672 × 131072)
    floor (44189.5)     		ty = 44189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106956 / 44189 ti = "17/106956/44189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106956/44189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106956 ÷ 217
    106956 ÷ 131072     		x = 0.816009521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44189 ÷ 217
    44189 ÷ 131072     		y = 0.337135314941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816009521484375 × 2 - 1) × π
    0.63201904296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.98554638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337135314941406 × 2 - 1) × π
    0.325729370117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.02330899618934
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98554638} λ = 1.98554638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02330899618934))-π/2
    2×atan(2.7823864541174)-π/2
    2×1.22576872816331-π/2
    2.45153745632662-1.57079632675     		φ = 0.88074113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98554638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.763428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88074113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.462750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106956 KachelY 44189 1.98554638 0.88074113 113.763428 50.462750
    Oben rechts KachelX + 1 106957 KachelY 44189 1.98559432 0.88074113 113.766174 50.462750
    Unten links KachelX 106956 KachelY + 1 44190 1.98554638 0.88071061 113.763428 50.461001
    Unten rechts KachelX + 1 106957 KachelY + 1 44190 1.98559432 0.88071061 113.766174 50.461001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88074113-0.88071061) × R
    3.05200000000339e-05 × 6371000     		dl = 194.442920000216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88074113-0.88071061) × R
    3.05200000000339e-05 × 6371000     		dr = 194.442920000216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98554638-1.98559432) × cos(0.88074113) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.636579751560386 × 6371000     		do = 194.42784168922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98554638-1.98559432) × cos(0.88071061) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.636603288619933 × 6371000     		du = 194.435030513049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88074113)-sin(0.88071061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636579751560386-0.636603288619933)×R²
    abs(1.98559432-1.98554638)×2.35370595461637e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35370595461637e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35370595461637e-05×40589641000000     		ar = 37805.8161783468m²