Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106956 / 100796
↖ ↑ ↗
← S 69.096020°
E113.763428°		 ← 108.98 m → S 69.096020°
E113.766174°		 →
↑
108.94 m
↓
↑
108.94 m
↓
S 69.097000°
E113.763428°		 ← 108.97 m →
11 872 m²		 S 69.097000°
E113.766174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816013336181641 y=0.769016265869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816013336181641 × 217)
    floor (0.816013336181641 × 131072)
    floor (106956.5)     		tx = 106956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769016265869141 × 217)
    floor (0.769016265869141 × 131072)
    floor (100796.5)     		ty = 100796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106956 / 100796 ti = "17/106956/100796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106956/100796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106956 ÷ 217
    106956 ÷ 131072     		x = 0.816009521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100796 ÷ 217
    100796 ÷ 131072     		y = 0.769012451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816009521484375 × 2 - 1) × π
    0.63201904296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.98554638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769012451171875 × 2 - 1) × π
    -0.53802490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.69025508060318
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98554638} λ = 1.98554638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69025508060318))-π/2
    2×atan(0.184472462643984)-π/2
    2×0.182421638268606-π/2
    0.364843276537211-1.57079632675     		φ = -1.20595305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98554638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.763428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20595305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.096020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106956 KachelY 100796 1.98554638 -1.20595305 113.763428 -69.096020
    Oben rechts KachelX + 1 106957 KachelY 100796 1.98559432 -1.20595305 113.766174 -69.096020
    Unten links KachelX 106956 KachelY + 1 100797 1.98554638 -1.20597015 113.763428 -69.097000
    Unten rechts KachelX + 1 106957 KachelY + 1 100797 1.98559432 -1.20597015 113.766174 -69.097000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20595305--1.20597015) × R
    1.70999999999921e-05 × 6371000     		dl = 108.94409999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20595305--1.20597015) × R
    1.70999999999921e-05 × 6371000     		dr = 108.94409999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98554638-1.98559432) × cos(-1.20595305) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.356802891223974 × 6371000     		do = 108.97678708615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98554638-1.98559432) × cos(-1.20597015) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.356786916699077 × 6371000     		du = 108.971908055062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20595305)-sin(-1.20597015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356802891223974-0.356786916699077)×R²
    abs(1.98559432-1.98554638)×1.59745248975995e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59745248975995e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59745248975995e-05×40589641000000     		ar = 11872.1122195373m²