Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106955 / 44206
↖ ↑ ↗
← N 50.433017°
E113.760681°		 ← 194.51 m → N 50.433017°
E113.763428°		 →
↑
194.57 m
↓
↑
194.57 m
↓
N 50.431267°
E113.760681°		 ← 194.52 m →
37 846 m²		 N 50.431267°
E113.763428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816005706787109 y=0.337268829345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816005706787109 × 217)
    floor (0.816005706787109 × 131072)
    floor (106955.5)     		tx = 106955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337268829345703 × 217)
    floor (0.337268829345703 × 131072)
    floor (44206.5)     		ty = 44206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106955 / 44206 ti = "17/106955/44206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106955/44206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106955 ÷ 217
    106955 ÷ 131072     		x = 0.816001892089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44206 ÷ 217
    44206 ÷ 131072     		y = 0.337265014648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816001892089844 × 2 - 1) × π
    0.632003784179688 × 3.1415926535     		Λ = 1.98549845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337265014648438 × 2 - 1) × π
    0.325469970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0224940688958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98549845} λ = 1.98549845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0224940688958))-π/2
    2×atan(2.78011993510429)-π/2
    2×1.22550926354205-π/2
    2.45101852708409-1.57079632675     		φ = 0.88022220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98549845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.760681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88022220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.433017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106955 KachelY 44206 1.98549845 0.88022220 113.760681 50.433017
    Oben rechts KachelX + 1 106956 KachelY 44206 1.98554638 0.88022220 113.763428 50.433017
    Unten links KachelX 106955 KachelY + 1 44207 1.98549845 0.88019166 113.760681 50.431267
    Unten rechts KachelX + 1 106956 KachelY + 1 44207 1.98554638 0.88019166 113.763428 50.431267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88022220-0.88019166) × R
    3.05399999999123e-05 × 6371000     		dl = 194.570339999441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88022220-0.88019166) × R
    3.05399999999123e-05 × 6371000     		dr = 194.570339999441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98549845-1.98554638) × cos(0.88022220) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.636979870292117 × 6371000     		do = 194.509466261657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98549845-1.98554638) × cos(0.88019166) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.637003412683541 × 6371000     		du = 194.516655214093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88022220)-sin(0.88019166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636979870292117-0.637003412683541)×R²
    abs(1.98554638-1.98549845)×2.35423914238808e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35423914238808e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35423914238808e-05×40589641000000     		ar = 37846.4723649424m²