Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106954 / 100798
↖ ↑ ↗
← S 69.097980°
E113.757935°		 ← 108.97 m → S 69.097980°
E113.760681°		 →
↑
108.94 m
↓
↑
108.94 m
↓
S 69.098960°
E113.757935°		 ← 108.96 m →
11 871 m²		 S 69.098960°
E113.760681°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.815998077392578 y=0.769031524658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.815998077392578 × 217)
    floor (0.815998077392578 × 131072)
    floor (106954.5)     		tx = 106954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769031524658203 × 217)
    floor (0.769031524658203 × 131072)
    floor (100798.5)     		ty = 100798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106954 / 100798 ti = "17/106954/100798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106954/100798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106954 ÷ 217
    106954 ÷ 131072     		x = 0.815994262695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100798 ÷ 217
    100798 ÷ 131072     		y = 0.769027709960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.815994262695312 × 2 - 1) × π
    0.631988525390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.98545051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769027709960938 × 2 - 1) × π
    -0.538055419921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.69035095440242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98545051} λ = 1.98545051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69035095440242))-π/2
    2×atan(0.184454777415924)-π/2
    2×0.182404535010164-π/2
    0.364809070020327-1.57079632675     		φ = -1.20598726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98545051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.757935°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20598726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.097980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106954 KachelY 100798 1.98545051 -1.20598726 113.757935 -69.097980
    Oben rechts KachelX + 1 106955 KachelY 100798 1.98549845 -1.20598726 113.760681 -69.097980
    Unten links KachelX 106954 KachelY + 1 100799 1.98545051 -1.20600436 113.757935 -69.098960
    Unten rechts KachelX + 1 106955 KachelY + 1 100799 1.98549845 -1.20600436 113.760681 -69.098960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20598726--1.20600436) × R
    1.71000000002142e-05 × 6371000     		dl = 108.944100001364m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20598726--1.20600436) × R
    1.71000000002142e-05 × 6371000     		dr = 108.944100001364m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98545051-1.98549845) × cos(-1.20598726) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.356770932727932 × 6371000     		do = 108.967026138847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98545051-1.98549845) × cos(-1.20600436) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.356754957994322 × 6371000     		du = 108.962147044013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20598726)-sin(-1.20600436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356770932727932-0.356754957994322)×R²
    abs(1.98549845-1.98545051)×1.59747336102023e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59747336102023e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59747336102023e-05×40589641000000     		ar = 11871.0488186482m²