Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106953 / 100797
↖ ↑ ↗
← S 69.097000°
E113.755188°		 ← 108.97 m → S 69.097000°
E113.757935°		 →
↑
109.01 m
↓
↑
109.01 m
↓
S 69.097980°
E113.755188°		 ← 108.97 m →
11 879 m²		 S 69.097980°
E113.757935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.815990447998047 y=0.769023895263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.815990447998047 × 217)
    floor (0.815990447998047 × 131072)
    floor (106953.5)     		tx = 106953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769023895263672 × 217)
    floor (0.769023895263672 × 131072)
    floor (100797.5)     		ty = 100797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106953 / 100797 ti = "17/106953/100797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106953/100797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106953 ÷ 217
    106953 ÷ 131072     		x = 0.815986633300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100797 ÷ 217
    100797 ÷ 131072     		y = 0.769020080566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.815986633300781 × 2 - 1) × π
    0.631973266601562 × 3.1415926535     		Λ = 1.98540257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769020080566406 × 2 - 1) × π
    -0.538040161132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.6903030175028
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98540257} λ = 1.98540257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6903030175028))-π/2
    2×atan(0.184463619818011)-π/2
    2×0.182413086447905-π/2
    0.36482617289581-1.57079632675     		φ = -1.20597015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98540257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.755188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20597015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.097000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106953 KachelY 100797 1.98540257 -1.20597015 113.755188 -69.097000
    Oben rechts KachelX + 1 106954 KachelY 100797 1.98545051 -1.20597015 113.757935 -69.097000
    Unten links KachelX 106953 KachelY + 1 100798 1.98540257 -1.20598726 113.755188 -69.097980
    Unten rechts KachelX + 1 106954 KachelY + 1 100798 1.98545051 -1.20598726 113.757935 -69.097980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20597015--1.20598726) × R
    1.71099999999313e-05 × 6371000     		dl = 109.007809999563m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20597015--1.20598726) × R
    1.71099999999313e-05 × 6371000     		dr = 109.007809999563m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98540257-1.98545051) × cos(-1.20597015) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.356786916699077 × 6371000     		do = 108.971908055062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98540257-1.98545051) × cos(-1.20598726) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.356770932727932 × 6371000     		du = 108.967026138847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20597015)-sin(-1.20598726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356786916699077-0.356770932727932)×R²
    abs(1.98545051-1.98540257)×1.59839711445509e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59839711445509e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59839711445509e-05×40589641000000     		ar = 11878.5229652138m²