Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106950 / 44198
↖ ↑ ↗
← N 50.447011°
E113.746948°		 ← 194.49 m → N 50.447011°
E113.749695°		 →
↑
194.44 m
↓
↑
194.44 m
↓
N 50.445262°
E113.746948°		 ← 194.50 m →
37 818 m²		 N 50.445262°
E113.749695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.815967559814453 y=0.337207794189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.815967559814453 × 217)
    floor (0.815967559814453 × 131072)
    floor (106950.5)     		tx = 106950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337207794189453 × 217)
    floor (0.337207794189453 × 131072)
    floor (44198.5)     		ty = 44198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106950 / 44198 ti = "17/106950/44198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106950/44198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106950 ÷ 217
    106950 ÷ 131072     		x = 0.815963745117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44198 ÷ 217
    44198 ÷ 131072     		y = 0.337203979492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.815963745117188 × 2 - 1) × π
    0.631927490234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.98525876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337203979492188 × 2 - 1) × π
    0.325592041015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.02287756409276
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98525876} λ = 1.98525876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02287756409276))-π/2
    2×atan(2.78118630220664)-π/2
    2×1.22563138484901-π/2
    2.45126276969802-1.57079632675     		φ = 0.88046644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98525876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.746948°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88046644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.447011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106950 KachelY 44198 1.98525876 0.88046644 113.746948 50.447011
    Oben rechts KachelX + 1 106951 KachelY 44198 1.98530670 0.88046644 113.749695 50.447011
    Unten links KachelX 106950 KachelY + 1 44199 1.98525876 0.88043592 113.746948 50.445262
    Unten rechts KachelX + 1 106951 KachelY + 1 44199 1.98530670 0.88043592 113.749695 50.445262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88046644-0.88043592) × R
    3.05199999999228e-05 × 6371000     		dl = 194.442919999508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88046644-0.88043592) × R
    3.05199999999228e-05 × 6371000     		dr = 194.442919999508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98525876-1.98530670) × cos(0.88046644) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.636791571457644 × 6371000     		do = 194.492536938086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98525876-1.98530670) × cos(0.88043592) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.636815103179412 × 6371000     		du = 194.499724131621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88046644)-sin(0.88043592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636791571457644-0.636815103179412)×R²
    abs(1.98530670-1.98525876)×2.35317217683884e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35317217683884e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35317217683884e-05×40589641000000     		ar = 37818.3955527232m²