Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106948 / 100788
↖ ↑ ↗
← S 69.088179°
E113.741455°		 ← 108.99 m → S 69.088179°
E113.744201°		 →
↑
109.01 m
↓
↑
109.01 m
↓
S 69.089159°
E113.741455°		 ← 108.99 m →
11 881 m²		 S 69.089159°
E113.744201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.815952301025391 y=0.768955230712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.815952301025391 × 217)
    floor (0.815952301025391 × 131072)
    floor (106948.5)     		tx = 106948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768955230712891 × 217)
    floor (0.768955230712891 × 131072)
    floor (100788.5)     		ty = 100788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106948 / 100788 ti = "17/106948/100788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106948/100788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106948 ÷ 217
    106948 ÷ 131072     		x = 0.815948486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100788 ÷ 217
    100788 ÷ 131072     		y = 0.768951416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.815948486328125 × 2 - 1) × π
    0.63189697265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.98516289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768951416015625 × 2 - 1) × π
    -0.53790283203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.68987158540622
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98516289} λ = 1.98516289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68987158540622))-π/2
    2×atan(0.184543220514164)-π/2
    2×0.182490066622483-π/2
    0.364980133244966-1.57079632675     		φ = -1.20581619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98516289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.741455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20581619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.088179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106948 KachelY 100788 1.98516289 -1.20581619 113.741455 -69.088179
    Oben rechts KachelX + 1 106949 KachelY 100788 1.98521082 -1.20581619 113.744201 -69.088179
    Unten links KachelX 106948 KachelY + 1 100789 1.98516289 -1.20583330 113.741455 -69.089159
    Unten rechts KachelX + 1 106949 KachelY + 1 100789 1.98521082 -1.20583330 113.744201 -69.089159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20581619--1.20583330) × R
    1.71100000001534e-05 × 6371000     		dl = 109.007810000977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20581619--1.20583330) × R
    1.71100000001534e-05 × 6371000     		dr = 109.007810000977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98516289-1.98521082) × cos(-1.20581619) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.356930739714636 × 6371000     		do = 108.99309524873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98516289-1.98521082) × cos(-1.20583330) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.356914756683528 × 6371000     		du = 108.988214637905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20581619)-sin(-1.20583330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356930739714636-0.356914756683528)×R²
    abs(1.98521082-1.98516289)×1.59830311084463e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.59830311084463e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.59830311084463e-05×40589641000000     		ar = 11880.8326062439m²