Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106946 / 100781
↖ ↑ ↗
← S 69.081315°
E113.735962°		 ← 109.05 m → S 69.081315°
E113.738708°		 →
↑
109.07 m
↓
↑
109.07 m
↓
S 69.082296°
E113.735962°		 ← 109.05 m →
11 894 m²		 S 69.082296°
E113.738708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.815937042236328 y=0.768901824951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.815937042236328 × 217)
    floor (0.815937042236328 × 131072)
    floor (106946.5)     		tx = 106946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768901824951172 × 217)
    floor (0.768901824951172 × 131072)
    floor (100781.5)     		ty = 100781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106946 / 100781 ti = "17/106946/100781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106946/100781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106946 ÷ 217
    106946 ÷ 131072     		x = 0.815933227539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100781 ÷ 217
    100781 ÷ 131072     		y = 0.768898010253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.815933227539062 × 2 - 1) × π
    0.631866455078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.98506701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768898010253906 × 2 - 1) × π
    -0.537796020507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.68953602710888
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98506701} λ = 1.98506701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68953602710888))-π/2
    2×atan(0.184605155913913)-π/2
    2×0.182549961544129-π/2
    0.365099923088257-1.57079632675     		φ = -1.20569640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98506701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.735962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20569640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.081315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106946 KachelY 100781 1.98506701 -1.20569640 113.735962 -69.081315
    Oben rechts KachelX + 1 106947 KachelY 100781 1.98511495 -1.20569640 113.738708 -69.081315
    Unten links KachelX 106946 KachelY + 1 100782 1.98506701 -1.20571352 113.735962 -69.082296
    Unten rechts KachelX + 1 106947 KachelY + 1 100782 1.98511495 -1.20571352 113.738708 -69.082296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20569640--1.20571352) × R
    1.71200000000926e-05 × 6371000     		dl = 109.07152000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20569640--1.20571352) × R
    1.71200000000926e-05 × 6371000     		dr = 109.07152000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98506701-1.98511495) × cos(-1.20569640) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.357042636688112 × 6371000     		do = 109.050011521946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98506701-1.98511495) × cos(-1.20571352) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.357026645047727 × 6371000     		du = 109.045127263348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20569640)-sin(-1.20571352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357042636688112-0.357026645047727)×R²
    abs(1.98511495-1.98506701)×1.59916403844051e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59916403844051e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59916403844051e-05×40589641000000     		ar = 11893.9841462736m²