Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106941 / 44187
↖ ↑ ↗
← N 50.466246°
E113.722229°		 ← 194.41 m → N 50.466246°
E113.724976°		 →
↑
194.44 m
↓
↑
194.44 m
↓
N 50.464498°
E113.722229°		 ← 194.42 m →
37 803 m²		 N 50.464498°
E113.724976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.815898895263672 y=0.337123870849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.815898895263672 × 217)
    floor (0.815898895263672 × 131072)
    floor (106941.5)     		tx = 106941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337123870849609 × 217)
    floor (0.337123870849609 × 131072)
    floor (44187.5)     		ty = 44187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106941 / 44187 ti = "17/106941/44187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106941/44187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106941 ÷ 217
    106941 ÷ 131072     		x = 0.815895080566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44187 ÷ 217
    44187 ÷ 131072     		y = 0.337120056152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.815895080566406 × 2 - 1) × π
    0.631790161132812 × 3.1415926535     		Λ = 1.98482733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337120056152344 × 2 - 1) × π
    0.325759887695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.02340486998858
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98482733} λ = 1.98482733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02340486998858))-π/2
    2×atan(2.78265322486566)-π/2
    2×1.22579924269484-π/2
    2.45159848538968-1.57079632675     		φ = 0.88080216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98482733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.722229°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88080216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.466246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106941 KachelY 44187 1.98482733 0.88080216 113.722229 50.466246
    Oben rechts KachelX + 1 106942 KachelY 44187 1.98487527 0.88080216 113.724976 50.466246
    Unten links KachelX 106941 KachelY + 1 44188 1.98482733 0.88077164 113.722229 50.464498
    Unten rechts KachelX + 1 106942 KachelY + 1 44188 1.98487527 0.88077164 113.724976 50.464498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88080216-0.88077164) × R
    3.05200000000339e-05 × 6371000     		dl = 194.442920000216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88080216-0.88077164) × R
    3.05200000000339e-05 × 6371000     		dr = 194.442920000216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98482733-1.98487527) × cos(0.88080216) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.636532683374948 × 6371000     		do = 194.413465854752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98482733-1.98487527) × cos(0.88077164) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.636556221620188 × 6371000     		du = 194.420655040723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88080216)-sin(0.88077164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636532683374948-0.636556221620188)×R²
    abs(1.98487527-1.98482733)×2.35382452403732e-05×R²
    4.79400000001906e-05×2.35382452403732e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×2.35382452403732e-05×40589641000000     		ar = 37803.0209341254m²