Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 10694 / 5838
↖ ↑ ↗
← N 81.349728°
W121.256103°		 ← 91.86 m → N 81.349728°
W121.250610°		 →
↑
91.87 m
↓
↑
91.87 m
↓
N 81.348902°
W121.256103°		 ← 91.87 m →
8 440 m²		 N 81.348902°
W121.250610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163185119628906 y=0.0890884399414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163185119628906 × 216)
    floor (0.163185119628906 × 65536)
    floor (10694.5)     		tx = 10694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0890884399414062 × 216)
    floor (0.0890884399414062 × 65536)
    floor (5838.5)     		ty = 5838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10694 / 5838 ti = "16/10694/5838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10694/5838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10694 ÷ 216
    10694 ÷ 65536     		x = 0.163177490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5838 ÷ 216
    5838 ÷ 65536     		y = 0.089080810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.163177490234375 × 2 - 1) × π
    -0.67364501953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.11631824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.089080810546875 × 2 - 1) × π
    0.82183837890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.58188141353622
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11631824} λ = -2.11631824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58188141353622))-π/2
    2×atan(13.2219908057528)-π/2
    2×1.49530846567924-π/2
    2.99061693135848-1.57079632675     		φ = 1.41982060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11631824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.256103°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41982060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.349728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10694 KachelY 5838 -2.11631824 1.41982060 -121.256103 81.349728
    Oben rechts KachelX + 1 10695 KachelY 5838 -2.11622237 1.41982060 -121.250610 81.349728
    Unten links KachelX 10694 KachelY + 1 5839 -2.11631824 1.41980618 -121.256103 81.348902
    Unten rechts KachelX + 1 10695 KachelY + 1 5839 -2.11622237 1.41980618 -121.250610 81.348902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41982060-1.41980618) × R
    1.44200000000705e-05 × 6371000     		dl = 91.8698200004491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41982060-1.41980618) × R
    1.44200000000705e-05 × 6371000     		dr = 91.8698200004491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11631824--2.11622237) × cos(1.41982060) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.150402831619535 × 6371000     		do = 91.8642101265791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11631824--2.11622237) × cos(1.41980618) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.150417087573463 × 6371000     		du = 91.8729174888879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41982060)-sin(1.41980618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150402831619535-0.150417087573463)×R²
    abs(-2.11622237--2.11631824)×1.42559539278997e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.42559539278997e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.42559539278997e-05×40589641000000     		ar = 8439.9484212462m²