Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106938 / 100790
↖ ↑ ↗
← S 69.090139°
E113.713989°		 ← 108.98 m → S 69.090139°
E113.716736°		 →
↑
109.01 m
↓
↑
109.01 m
↓
S 69.091120°
E113.713989°		 ← 108.98 m →
11 880 m²		 S 69.091120°
E113.716736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.815876007080078 y=0.768970489501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.815876007080078 × 217)
    floor (0.815876007080078 × 131072)
    floor (106938.5)     		tx = 106938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768970489501953 × 217)
    floor (0.768970489501953 × 131072)
    floor (100790.5)     		ty = 100790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106938 / 100790 ti = "17/106938/100790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106938/100790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106938 ÷ 217
    106938 ÷ 131072     		x = 0.815872192382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100790 ÷ 217
    100790 ÷ 131072     		y = 0.768966674804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.815872192382812 × 2 - 1) × π
    0.631744384765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.98468352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768966674804688 × 2 - 1) × π
    -0.537933349609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.68996745920546
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98468352} λ = 1.98468352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68996745920546))-π/2
    2×atan(0.184525528502603)-π/2
    2×0.182472957235763-π/2
    0.364945914471526-1.57079632675     		φ = -1.20585041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98468352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.713989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20585041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.090139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106938 KachelY 100790 1.98468352 -1.20585041 113.713989 -69.090139
    Oben rechts KachelX + 1 106939 KachelY 100790 1.98473145 -1.20585041 113.716736 -69.090139
    Unten links KachelX 106938 KachelY + 1 100791 1.98468352 -1.20586752 113.713989 -69.091120
    Unten rechts KachelX + 1 106939 KachelY + 1 100791 1.98473145 -1.20586752 113.716736 -69.091120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20585041--1.20586752) × R
    1.71099999999313e-05 × 6371000     		dl = 109.007809999563m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20585041--1.20586752) × R
    1.71099999999313e-05 × 6371000     		dr = 109.007809999563m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98468352-1.98473145) × cos(-1.20585041) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.356898773547932 × 6371000     		do = 108.983333995173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98468352-1.98473145) × cos(-1.20586752) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.356882790307853 × 6371000     		du = 108.978453320537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20585041)-sin(-1.20586752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356898773547932-0.356882790307853)×R²
    abs(1.98473145-1.98468352)×1.59832400786208e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.59832400786208e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.59832400786208e-05×40589641000000     		ar = 11879.7685496082m²