Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106936 / 100792
↖ ↑ ↗
← S 69.092100°
E113.708496°		 ← 109 m → S 69.092100°
E113.711243°		 →
↑
108.94 m
↓
↑
108.94 m
↓
S 69.093080°
E113.708496°		 ← 108.99 m →
11 874 m²		 S 69.093080°
E113.711243°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.815860748291016 y=0.768985748291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.815860748291016 × 217)
    floor (0.815860748291016 × 131072)
    floor (106936.5)     		tx = 106936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768985748291016 × 217)
    floor (0.768985748291016 × 131072)
    floor (100792.5)     		ty = 100792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106936 / 100792 ti = "17/106936/100792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106936/100792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106936 ÷ 217
    106936 ÷ 131072     		x = 0.81585693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100792 ÷ 217
    100792 ÷ 131072     		y = 0.76898193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81585693359375 × 2 - 1) × π
    0.6317138671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.98458764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76898193359375 × 2 - 1) × π
    -0.5379638671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6900633330047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98458764} λ = 1.98458764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6900633330047))-π/2
    2×atan(0.184507838187162)-π/2
    2×0.182455849381288-π/2
    0.364911698762576-1.57079632675     		φ = -1.20588463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98458764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.708496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20588463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.092100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106936 KachelY 100792 1.98458764 -1.20588463 113.708496 -69.092100
    Oben rechts KachelX + 1 106937 KachelY 100792 1.98463558 -1.20588463 113.711243 -69.092100
    Unten links KachelX 106936 KachelY + 1 100793 1.98458764 -1.20590173 113.708496 -69.093080
    Unten rechts KachelX + 1 106937 KachelY + 1 100793 1.98463558 -1.20590173 113.711243 -69.093080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20588463--1.20590173) × R
    1.70999999999921e-05 × 6371000     		dl = 108.94409999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20588463--1.20590173) × R
    1.70999999999921e-05 × 6371000     		dr = 108.94409999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98458764-1.98463558) × cos(-1.20588463) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.356866806963296 × 6371000     		do = 108.99630859813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98458764-1.98463558) × cos(-1.20590173) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.35685083285588 × 6371000     		du = 108.991429694552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20588463)-sin(-1.20590173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356866806963296-0.35685083285588)×R²
    abs(1.98463558-1.98458764)×1.59741074166053e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59741074166053e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59741074166053e-05×40589641000000     		ar = 11874.2389798367m²