Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10693 / 6598
↖ ↑ ↗
← N 80.698671°
W121.261597°		 ← 98.73 m → N 80.698671°
W121.256103°		 →
↑
98.69 m
↓
↑
98.69 m
↓
N 80.697783°
W121.261597°		 ← 98.74 m →
9 744 m²		 N 80.697783°
W121.256103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163169860839844 y=0.100685119628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163169860839844 × 216)
    floor (0.163169860839844 × 65536)
    floor (10693.5)     		tx = 10693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100685119628906 × 216)
    floor (0.100685119628906 × 65536)
    floor (6598.5)     		ty = 6598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10693 / 6598 ti = "16/10693/6598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10693/6598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10693 ÷ 216
    10693 ÷ 65536     		x = 0.163162231445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6598 ÷ 216
    6598 ÷ 65536     		y = 0.100677490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.163162231445312 × 2 - 1) × π
    -0.673675537109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.11641412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100677490234375 × 2 - 1) × π
    0.79864501953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.50901732611374
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11641412} λ = -2.11641412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50901732611374))-π/2
    2×atan(12.2928442662374)-π/2
    2×1.48962691997351-π/2
    2.97925383994702-1.57079632675     		φ = 1.40845751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11641412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.261597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40845751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.698671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10693 KachelY 6598 -2.11641412 1.40845751 -121.261597 80.698671
    Oben rechts KachelX + 1 10694 KachelY 6598 -2.11631824 1.40845751 -121.256103 80.698671
    Unten links KachelX 10693 KachelY + 1 6599 -2.11641412 1.40844202 -121.261597 80.697783
    Unten rechts KachelX + 1 10694 KachelY + 1 6599 -2.11631824 1.40844202 -121.256103 80.697783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40845751-1.40844202) × R
    1.54900000000069e-05 × 6371000     		dl = 98.6867900000439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40845751-1.40844202) × R
    1.54900000000069e-05 × 6371000     		dr = 98.6867900000439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11641412--2.11631824) × cos(1.40845751) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.161626712519779 × 6371000     		do = 98.7299165501769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11641412--2.11631824) × cos(1.40844202) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.161641998837365 × 6371000     		du = 98.739254219898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40845751)-sin(1.40844202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161626712519779-0.161641998837365)×R²
    abs(-2.11631824--2.11641412)×1.5286317585933e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.5286317585933e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.5286317585933e-05×40589641000000     		ar = 9743.79929378026m²