Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10693 / 12097
↖ ↑ ↗
← S 64.783488°
E 54.953613°		 ← 1 040.91 m → S 64.783488°
E 54.975586°		 →
↑
1 040.77 m
↓
↑
1 040.77 m
↓
S 64.792848°
E 54.953613°		 ← 1 040.55 m →
1 083 154 m²		 S 64.792848°
E 54.975586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.652679443359375 y=0.738372802734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.652679443359375 × 214)
    floor (0.652679443359375 × 16384)
    floor (10693.5)     		tx = 10693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738372802734375 × 214)
    floor (0.738372802734375 × 16384)
    floor (12097.5)     		ty = 12097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10693 / 12097 ti = "14/10693/12097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10693/12097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10693 ÷ 214
    10693 ÷ 16384     		x = 0.65264892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12097 ÷ 214
    12097 ÷ 16384     		y = 0.73834228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65264892578125 × 2 - 1) × π
    0.3052978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.95912149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73834228515625 × 2 - 1) × π
    -0.4766845703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.49754874413055
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95912149} λ = 0.95912149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49754874413055))-π/2
    2×atan(0.223677780167332)-π/2
    2×0.220055578675714-π/2
    0.440111157351428-1.57079632675     		φ = -1.13068517
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95912149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.953613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13068517 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.783488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10693 KachelY 12097 0.95912149 -1.13068517 54.953613 -64.783488
    Oben rechts KachelX + 1 10694 KachelY 12097 0.95950498 -1.13068517 54.975586 -64.783488
    Unten links KachelX 10693 KachelY + 1 12098 0.95912149 -1.13084853 54.953613 -64.792848
    Unten rechts KachelX + 1 10694 KachelY + 1 12098 0.95950498 -1.13084853 54.975586 -64.792848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13068517--1.13084853) × R
    0.000163359999999946 × 6371000     		dl = 1040.76655999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13068517--1.13084853) × R
    0.000163359999999946 × 6371000     		dr = 1040.76655999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95912149-0.95950498) × cos(-1.13068517) × R
    0.000383489999999931 × 0.426040031729435 × 6371000     		do = 1040.90730665324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95912149-0.95950498) × cos(-1.13084853) × R
    0.000383489999999931 × 0.425892233548999 × 6371000     		du = 1040.54620395286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13068517)-sin(-1.13084853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426040031729435-0.425892233548999)×R²
    abs(0.95950498-0.95912149)×0.000147798180436254×R²
    0.000383489999999931×0.000147798180436254×6371000²
    0.000383489999999931×0.000147798180436254×40589641000000     		ar = 1083153.60742488m²