Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10692 / 5836
↖ ↑ ↗
← N 81.351380°
W121.267090°		 ← 91.85 m → N 81.351380°
W121.261597°		 →
↑
91.87 m
↓
↑
91.87 m
↓
N 81.350554°
W121.267090°		 ← 91.86 m →
8 438 m²		 N 81.350554°
W121.261597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163154602050781 y=0.0890579223632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163154602050781 × 216)
    floor (0.163154602050781 × 65536)
    floor (10692.5)     		tx = 10692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0890579223632812 × 216)
    floor (0.0890579223632812 × 65536)
    floor (5836.5)     		ty = 5836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10692 / 5836 ti = "16/10692/5836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10692/5836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10692 ÷ 216
    10692 ÷ 65536     		x = 0.16314697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5836 ÷ 216
    5836 ÷ 65536     		y = 0.08905029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16314697265625 × 2 - 1) × π
    -0.6737060546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.11650999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08905029296875 × 2 - 1) × π
    0.8218994140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.5820731611347
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11650999} λ = -2.11650999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5820731611347))-π/2
    2×atan(13.2245263338199)-π/2
    2×1.49532288400303-π/2
    2.99064576800606-1.57079632675     		φ = 1.41984944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11650999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.267090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41984944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.351380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10692 KachelY 5836 -2.11650999 1.41984944 -121.267090 81.351380
    Oben rechts KachelX + 1 10693 KachelY 5836 -2.11641412 1.41984944 -121.261597 81.351380
    Unten links KachelX 10692 KachelY + 1 5837 -2.11650999 1.41983502 -121.267090 81.350554
    Unten rechts KachelX + 1 10693 KachelY + 1 5837 -2.11641412 1.41983502 -121.261597 81.350554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41984944-1.41983502) × R
    1.44199999998484e-05 × 6371000     		dl = 91.8698199990344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41984944-1.41983502) × R
    1.44199999998484e-05 × 6371000     		dr = 91.8698199990344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11650999--2.11641412) × cos(1.41984944) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.150374319617859 × 6371000     		do = 91.8467953446576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11650999--2.11641412) × cos(1.41983502) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.150388575634333 × 6371000     		du = 91.8555027451683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41984944)-sin(1.41983502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150374319617859-0.150388575634333)×R²
    abs(-2.11641412--2.11650999)×1.42560164731464e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.42560164731464e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.42560164731464e-05×40589641000000     		ar = 8438.34852944626m²