Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10692 / 5440
↖ ↑ ↗
← N 81.672424°
W121.267090°		 ← 88.46 m → N 81.672424°
W121.261597°		 →
↑
88.49 m
↓
↑
88.49 m
↓
N 81.671628°
W121.267090°		 ← 88.47 m →
7 829 m²		 N 81.671628°
W121.261597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163154602050781 y=0.0830154418945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163154602050781 × 216)
    floor (0.163154602050781 × 65536)
    floor (10692.5)     		tx = 10692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0830154418945312 × 216)
    floor (0.0830154418945312 × 65536)
    floor (5440.5)     		ty = 5440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10692 / 5440 ti = "16/10692/5440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10692/5440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10692 ÷ 216
    10692 ÷ 65536     		x = 0.16314697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5440 ÷ 216
    5440 ÷ 65536     		y = 0.0830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16314697265625 × 2 - 1) × π
    -0.6737060546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.11650999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0830078125 × 2 - 1) × π
    0.833984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.62003918563379
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11650999} λ = -2.11650999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62003918563379))-π/2
    2×atan(13.736261838658)-π/2
    2×1.49812451881769-π/2
    2.99624903763539-1.57079632675     		φ = 1.42545271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11650999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.267090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42545271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.672424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10692 KachelY 5440 -2.11650999 1.42545271 -121.267090 81.672424
    Oben rechts KachelX + 1 10693 KachelY 5440 -2.11641412 1.42545271 -121.261597 81.672424
    Unten links KachelX 10692 KachelY + 1 5441 -2.11650999 1.42543882 -121.267090 81.671628
    Unten rechts KachelX + 1 10693 KachelY + 1 5441 -2.11641412 1.42543882 -121.261597 81.671628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42545271-1.42543882) × R
    1.38899999999609e-05 × 6371000     		dl = 88.4931899997508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42545271-1.42543882) × R
    1.38899999999609e-05 × 6371000     		dr = 88.4931899997508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11650999--2.11641412) × cos(1.42545271) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.144832432021451 × 6371000     		do = 88.4618781780569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11650999--2.11641412) × cos(1.42543882) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.144846175554062 × 6371000     		du = 88.4702725596919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42545271)-sin(1.42543882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144832432021451-0.144846175554062)×R²
    abs(-2.11641412--2.11650999)×1.37435326104107e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.37435326104107e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.37435326104107e-05×40589641000000     		ar = 7828.64521648525m²