Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10690 / 5444
↖ ↑ ↗
← N 81.669241°
W121.278076°		 ← 88.50 m → N 81.669241°
W121.272583°		 →
↑
88.49 m
↓
↑
88.49 m
↓
N 81.668446°
W121.278076°		 ← 88.50 m →
7 832 m²		 N 81.668446°
W121.272583°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163124084472656 y=0.0830764770507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163124084472656 × 216)
    floor (0.163124084472656 × 65536)
    floor (10690.5)     		tx = 10690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0830764770507812 × 216)
    floor (0.0830764770507812 × 65536)
    floor (5444.5)     		ty = 5444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10690 / 5444 ti = "16/10690/5444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10690/5444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10690 ÷ 216
    10690 ÷ 65536     		x = 0.163116455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5444 ÷ 216
    5444 ÷ 65536     		y = 0.08306884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.163116455078125 × 2 - 1) × π
    -0.67376708984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.11670174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08306884765625 × 2 - 1) × π
    0.8338623046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.61965569043683
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11670174} λ = -2.11670174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61965569043683))-π/2
    2×atan(13.7309950581757)-π/2
    2×1.49809674227725-π/2
    2.9961934845545-1.57079632675     		φ = 1.42539716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11670174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.278076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42539716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.669241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10690 KachelY 5444 -2.11670174 1.42539716 -121.278076 81.669241
    Oben rechts KachelX + 1 10691 KachelY 5444 -2.11660587 1.42539716 -121.272583 81.669241
    Unten links KachelX 10690 KachelY + 1 5445 -2.11670174 1.42538327 -121.278076 81.668446
    Unten rechts KachelX + 1 10691 KachelY + 1 5445 -2.11660587 1.42538327 -121.272583 81.668446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42539716-1.42538327) × R
    1.38899999999609e-05 × 6371000     		dl = 88.4931899997508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42539716-1.42538327) × R
    1.38899999999609e-05 × 6371000     		dr = 88.4931899997508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11670174--2.11660587) × cos(1.42539716) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.144887396089728 × 6371000     		do = 88.4954495587499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11670174--2.11660587) × cos(1.42538327) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.144901139510561 × 6371000     		du = 88.5038438721125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42539716)-sin(1.42538327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144887396089728-0.144901139510561)×R²
    abs(-2.11660587--2.11670174)×1.37434208327125e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.37434208327125e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.37434208327125e-05×40589641000000     		ar = 7831.61605183566m²