Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1069 / 310
↖ ↑ ↗
← N 82.045740°
W 86.044922°		 ← 1 352.41 m → N 82.045740°
W 85.957031°		 →
↑
1 353.46 m
↓
↑
1 353.46 m
↓
N 82.033568°
W 86.044922°		 ← 1 354.47 m →
1 831 818 m²		 N 82.033568°
W 85.957031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2611083984375 y=0.0758056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2611083984375 × 212)
    floor (0.2611083984375 × 4096)
    floor (1069.5)     		tx = 1069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0758056640625 × 212)
    floor (0.0758056640625 × 4096)
    floor (310.5)     		ty = 310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1069 / 310 ti = "12/1069/310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1069/310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1069 ÷ 212
    1069 ÷ 4096     		x = 0.260986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 310 ÷ 212
    310 ÷ 4096     		y = 0.07568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.260986328125 × 2 - 1) × π
    -0.47802734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.50176719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07568359375 × 2 - 1) × π
    0.8486328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.66605860926904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.50176719} λ = -1.50176719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.66605860926904))-π/2
    2×atan(14.383167644152)-π/2
    2×1.50138231405238-π/2
    3.00276462810476-1.57079632675     		φ = 1.43196830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.50176719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.044922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43196830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.045740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1069 KachelY 310 -1.50176719 1.43196830 -86.044922 82.045740
    Oben rechts KachelX + 1 1070 KachelY 310 -1.50023321 1.43196830 -85.957031 82.045740
    Unten links KachelX 1069 KachelY + 1 311 -1.50176719 1.43175586 -86.044922 82.033568
    Unten rechts KachelX + 1 1070 KachelY + 1 311 -1.50023321 1.43175586 -85.957031 82.033568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43196830-1.43175586) × R
    0.000212440000000091 × 6371000     		dl = 1353.45524000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43196830-1.43175586) × R
    0.000212440000000091 × 6371000     		dr = 1353.45524000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.50176719--1.50023321) × cos(1.43196830) × R
    0.00153398000000005 × 0.138382512462372 × 6371000     		do = 1352.41043720149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.50176719--1.50023321) × cos(1.43175586) × R
    0.00153398000000005 × 0.138592905422501 × 6371000     		du = 1354.46660477736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43196830)-sin(1.43175586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.138382512462372-0.138592905422501)×R²
    abs(-1.50023321--1.50176719)×0.00021039296012923×R²
    0.00153398000000005×0.00021039296012923×6371000²
    0.00153398000000005×0.00021039296012923×40589641000000     		ar = 1831818.46514423m²