Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1069 / 1133
↖ ↑ ↗
← S 18.812718°
E  7.910156°		 ← 18.502 km → S 18.812718°
E  8.085937°		 →
↑
18.493 km
↓
↑
18.493 km
↓
S 18.979026°
E  7.910156°		 ← 18.483 km →
341.976 km²		 S 18.979026°
E  8.085937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522216796875 y=0.553466796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522216796875 × 211)
    floor (0.522216796875 × 2048)
    floor (1069.5)     		tx = 1069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553466796875 × 211)
    floor (0.553466796875 × 2048)
    floor (1133.5)     		ty = 1133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1069 / 1133 ti = "11/1069/1133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1069/1133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1069 ÷ 211
    1069 ÷ 2048     		x = 0.52197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1133 ÷ 211
    1133 ÷ 2048     		y = 0.55322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52197265625 × 2 - 1) × π
    0.0439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13805827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55322265625 × 2 - 1) × π
    -0.1064453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.334407811749512
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13805827} λ = 0.13805827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.334407811749512))-π/2
    2×atan(0.715761826617044)-π/2
    2×0.621226229480449-π/2
    1.2424524589609-1.57079632675     		φ = -0.32834387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13805827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.910156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32834387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.812718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1069 KachelY 1133 0.13805827 -0.32834387 7.910156 -18.812718
    Oben rechts KachelX + 1 1070 KachelY 1133 0.14112623 -0.32834387 8.085937 -18.812718
    Unten links KachelX 1069 KachelY + 1 1134 0.13805827 -0.33124649 7.910156 -18.979026
    Unten rechts KachelX + 1 1070 KachelY + 1 1134 0.14112623 -0.33124649 8.085937 -18.979026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32834387--0.33124649) × R
    0.00290262000000002 × 6371000     		dl = 18492.5920200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32834387--0.33124649) × R
    0.00290262000000002 × 6371000     		dr = 18492.5920200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13805827-0.14112623) × cos(-0.32834387) × R
    0.00306795999999998 × 0.946577703277318 × 6371000     		do = 18501.7823821128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13805827-0.14112623) × cos(-0.33124649) × R
    0.00306795999999998 × 0.945637692287967 × 6371000     		du = 18483.4089525448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32834387)-sin(-0.33124649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946577703277318-0.945637692287967)×R²
    abs(0.14112623-0.13805827)×0.000940010989350926×R²
    0.00306795999999998×0.000940010989350926×6371000²
    0.00306795999999998×0.000940010989350926×40589641000000     		ar = 341976267.168386m²