Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10689 / 5443
↖ ↑ ↗
← N 81.670037°
W121.283569°		 ← 88.49 m → N 81.670037°
W121.278076°		 →
↑
88.49 m
↓
↑
88.49 m
↓
N 81.669241°
W121.283569°		 ← 88.50 m →
7 831 m²		 N 81.669241°
W121.278076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163108825683594 y=0.0830612182617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163108825683594 × 216)
    floor (0.163108825683594 × 65536)
    floor (10689.5)     		tx = 10689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0830612182617188 × 216)
    floor (0.0830612182617188 × 65536)
    floor (5443.5)     		ty = 5443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10689 / 5443 ti = "16/10689/5443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10689/5443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10689 ÷ 216
    10689 ÷ 65536     		x = 0.163101196289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5443 ÷ 216
    5443 ÷ 65536     		y = 0.0830535888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.163101196289062 × 2 - 1) × π
    -0.673797607421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.11679761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0830535888671875 × 2 - 1) × π
    0.833892822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.61975156423607
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11679761} λ = -2.11679761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61975156423607))-π/2
    2×atan(13.7323115639475)-π/2
    2×1.4981036874005-π/2
    2.996207374801-1.57079632675     		φ = 1.42541105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11679761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.283569°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42541105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.670037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10689 KachelY 5443 -2.11679761 1.42541105 -121.283569 81.670037
    Oben rechts KachelX + 1 10690 KachelY 5443 -2.11670174 1.42541105 -121.278076 81.670037
    Unten links KachelX 10689 KachelY + 1 5444 -2.11679761 1.42539716 -121.283569 81.669241
    Unten rechts KachelX + 1 10690 KachelY + 1 5444 -2.11670174 1.42539716 -121.278076 81.669241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42541105-1.42539716) × R
    1.38899999999609e-05 × 6371000     		dl = 88.4931899997508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42541105-1.42539716) × R
    1.38899999999609e-05 × 6371000     		dr = 88.4931899997508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11679761--2.11670174) × cos(1.42541105) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.144873652640942 × 6371000     		do = 88.4870552283137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11679761--2.11670174) × cos(1.42539716) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.144887396089728 × 6371000     		du = 88.4954495587499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42541105)-sin(1.42539716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144873652640942-0.144887396089728)×R²
    abs(-2.11670174--2.11679761)×1.37434487861854e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.37434487861854e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.37434487861854e-05×40589641000000     		ar = 7830.87321112264m²