Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10687 / 6073
↖ ↑ ↗
← N 81.153396°
W121.294556°		 ← 93.93 m → N 81.153396°
W121.289063°		 →
↑
93.91 m
↓
↑
93.91 m
↓
N 81.152551°
W121.294556°		 ← 93.94 m →
8 822 m²		 N 81.152551°
W121.289063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163078308105469 y=0.0926742553710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163078308105469 × 216)
    floor (0.163078308105469 × 65536)
    floor (10687.5)     		tx = 10687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0926742553710938 × 216)
    floor (0.0926742553710938 × 65536)
    floor (6073.5)     		ty = 6073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10687 / 6073 ti = "16/10687/6073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10687/6073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10687 ÷ 216
    10687 ÷ 65536     		x = 0.163070678710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6073 ÷ 216
    6073 ÷ 65536     		y = 0.0926666259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.163070678710938 × 2 - 1) × π
    -0.673858642578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.11698936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0926666259765625 × 2 - 1) × π
    0.814666748046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.5593510707148
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11698936} λ = -2.11698936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5593510707148))-π/2
    2×atan(12.9274256079659)-π/2
    2×1.49359514488293-π/2
    2.98719028976587-1.57079632675     		φ = 1.41639396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11698936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.294556°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41639396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.153396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10687 KachelY 6073 -2.11698936 1.41639396 -121.294556 81.153396
    Oben rechts KachelX + 1 10688 KachelY 6073 -2.11689349 1.41639396 -121.289063 81.153396
    Unten links KachelX 10687 KachelY + 1 6074 -2.11698936 1.41637922 -121.294556 81.152551
    Unten rechts KachelX + 1 10688 KachelY + 1 6074 -2.11689349 1.41637922 -121.289063 81.152551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41639396-1.41637922) × R
    1.47399999999021e-05 × 6371000     		dl = 93.908539999376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41639396-1.41637922) × R
    1.47399999999021e-05 × 6371000     		dr = 93.908539999376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11698936--2.11689349) × cos(1.41639396) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153789603258859 × 6371000     		do = 93.9328088236612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11698936--2.11689349) × cos(1.41637922) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153804167889466 × 6371000     		du = 93.9417047219107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41639396)-sin(1.41637922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153789603258859-0.153804167889466)×R²
    abs(-2.11689349--2.11698936)×1.45646306072e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.45646306072e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.45646306072e-05×40589641000000     		ar = 8821.51063528271m²