Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106807 / 43913
↖ ↑ ↗
← N 50.942854°
E113.354187°		 ← 192.45 m → N 50.942854°
E113.356934°		 →
↑
192.47 m
↓
↑
192.47 m
↓
N 50.941123°
E113.354187°		 ← 192.45 m →
37 041 m²		 N 50.941123°
E113.356934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814876556396484 y=0.335033416748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814876556396484 × 217)
    floor (0.814876556396484 × 131072)
    floor (106807.5)     		tx = 106807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335033416748047 × 217)
    floor (0.335033416748047 × 131072)
    floor (43913.5)     		ty = 43913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106807 / 43913 ti = "17/106807/43913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106807/43913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106807 ÷ 217
    106807 ÷ 131072     		x = 0.814872741699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43913 ÷ 217
    43913 ÷ 131072     		y = 0.335029602050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814872741699219 × 2 - 1) × π
    0.629745483398438 × 3.1415926535     		Λ = 1.97840378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335029602050781 × 2 - 1) × π
    0.329940795898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.03653958048447
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97840378} λ = 1.97840378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03653958048447))-π/2
    2×atan(2.81944365629351)-π/2
    2×1.22995842848923-π/2
    2.45991685697845-1.57079632675     		φ = 0.88912053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97840378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.354187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88912053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.942854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106807 KachelY 43913 1.97840378 0.88912053 113.354187 50.942854
    Oben rechts KachelX + 1 106808 KachelY 43913 1.97845172 0.88912053 113.356934 50.942854
    Unten links KachelX 106807 KachelY + 1 43914 1.97840378 0.88909032 113.354187 50.941123
    Unten rechts KachelX + 1 106808 KachelY + 1 43914 1.97845172 0.88909032 113.356934 50.941123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88912053-0.88909032) × R
    3.02100000000305e-05 × 6371000     		dl = 192.467910000194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88912053-0.88909032) × R
    3.02100000000305e-05 × 6371000     		dr = 192.467910000194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97840378-1.97845172) × cos(0.88912053) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.630095194360543 × 6371000     		do = 192.447291007887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97840378-1.97845172) × cos(0.88909032) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.630118652678714 × 6371000     		du = 192.454455782073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88912053)-sin(0.88909032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630095194360543-0.630118652678714)×R²
    abs(1.97845172-1.97840378)×2.34583181711878e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34583181711878e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34583181711878e-05×40589641000000     		ar = 37040.6173827068m²