Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1068 / 668
↖ ↑ ↗
← N 76.268695°
W 86.132812°		 ← 2 319.80 m → N 76.268695°
W 86.044922°		 →
↑
2 321.53 m
↓
↑
2 321.53 m
↓
N 76.247817°
W 86.132812°		 ← 2 323.26 m →
5 389 506 m²		 N 76.247817°
W 86.044922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2608642578125 y=0.1632080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2608642578125 × 212)
    floor (0.2608642578125 × 4096)
    floor (1068.5)     		tx = 1068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1632080078125 × 212)
    floor (0.1632080078125 × 4096)
    floor (668.5)     		ty = 668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1068 / 668 ti = "12/1068/668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1068/668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1068 ÷ 212
    1068 ÷ 4096     		x = 0.2607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 668 ÷ 212
    668 ÷ 4096     		y = 0.1630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2607421875 × 2 - 1) × π
    -0.478515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.50330117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1630859375 × 2 - 1) × π
    0.673828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.11689348722168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.50330117} λ = -1.50330117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11689348722168))-π/2
    2×atan(8.30529686052456)-π/2
    2×1.45096808231764-π/2
    2.90193616463529-1.57079632675     		φ = 1.33113984
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.50330117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.132812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33113984 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.268695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1068 KachelY 668 -1.50330117 1.33113984 -86.132812 76.268695
    Oben rechts KachelX + 1 1069 KachelY 668 -1.50176719 1.33113984 -86.044922 76.268695
    Unten links KachelX 1068 KachelY + 1 669 -1.50330117 1.33077545 -86.132812 76.247817
    Unten rechts KachelX + 1 1069 KachelY + 1 669 -1.50176719 1.33077545 -86.044922 76.247817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33113984-1.33077545) × R
    0.000364390000000103 × 6371000     		dl = 2321.52869000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33113984-1.33077545) × R
    0.000364390000000103 × 6371000     		dr = 2321.52869000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.50330117--1.50176719) × cos(1.33113984) × R
    0.00153398000000005 × 0.237368944988105 × 6371000     		do = 2319.80351387757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.50330117--1.50176719) × cos(1.33077545) × R
    0.00153398000000005 × 0.237722904799009 × 6371000     		du = 2323.2627583594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33113984)-sin(1.33077545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237368944988105-0.237722904799009)×R²
    abs(-1.50176719--1.50330117)×0.000353959810904497×R²
    0.00153398000000005×0.000353959810904497×6371000²
    0.00153398000000005×0.000353959810904497×40589641000000     		ar = 5389505.8399241m²