Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106794 / 43865
↖ ↑ ↗
← N 51.025849°
E113.318481°		 ← 192.10 m → N 51.025849°
E113.321228°		 →
↑
192.15 m
↓
↑
192.15 m
↓
N 51.024121°
E113.318481°		 ← 192.11 m →
36 913 m²		 N 51.024121°
E113.321228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814777374267578 y=0.334667205810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814777374267578 × 217)
    floor (0.814777374267578 × 131072)
    floor (106794.5)     		tx = 106794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334667205810547 × 217)
    floor (0.334667205810547 × 131072)
    floor (43865.5)     		ty = 43865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106794 / 43865 ti = "17/106794/43865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106794/43865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106794 ÷ 217
    106794 ÷ 131072     		x = 0.814773559570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43865 ÷ 217
    43865 ÷ 131072     		y = 0.334663391113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814773559570312 × 2 - 1) × π
    0.629547119140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.97778060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334663391113281 × 2 - 1) × π
    0.330673217773438 × 3.1415926535     		Φ = 1.03884055166624
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97778060} λ = 1.97778060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03884055166624))-π/2
    2×atan(2.82593858435079)-π/2
    2×1.23068269644357-π/2
    2.46136539288714-1.57079632675     		φ = 0.89056907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97778060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.318481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89056907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.025849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106794 KachelY 43865 1.97778060 0.89056907 113.318481 51.025849
    Oben rechts KachelX + 1 106795 KachelY 43865 1.97782854 0.89056907 113.321228 51.025849
    Unten links KachelX 106794 KachelY + 1 43866 1.97778060 0.89053891 113.318481 51.024121
    Unten rechts KachelX + 1 106795 KachelY + 1 43866 1.97782854 0.89053891 113.321228 51.024121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89056907-0.89053891) × R
    3.01600000000013e-05 × 6371000     		dl = 192.149360000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89056907-0.89053891) × R
    3.01600000000013e-05 × 6371000     		dr = 192.149360000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97778060-1.97782854) × cos(0.89056907) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.628969716463597 × 6371000     		do = 192.103541088358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97778060-1.97782854) × cos(0.89053891) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.628993163460334 × 6371000     		du = 192.110702404688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89056907)-sin(0.89053891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628969716463597-0.628993163460334)×R²
    abs(1.97782854-1.97778060)×2.34469967367312e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34469967367312e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34469967367312e-05×40589641000000     		ar = 36913.2604977794m²