Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106792 / 43882
↖ ↑ ↗
← N 50.996472°
E113.312988°		 ← 192.23 m → N 50.996472°
E113.315735°		 →
↑
192.21 m
↓
↑
192.21 m
↓
N 50.994743°
E113.312988°		 ← 192.23 m →
36 949 m²		 N 50.994743°
E113.315735°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814762115478516 y=0.334796905517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814762115478516 × 217)
    floor (0.814762115478516 × 131072)
    floor (106792.5)     		tx = 106792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334796905517578 × 217)
    floor (0.334796905517578 × 131072)
    floor (43882.5)     		ty = 43882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106792 / 43882 ti = "17/106792/43882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106792/43882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106792 ÷ 217
    106792 ÷ 131072     		x = 0.81475830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43882 ÷ 217
    43882 ÷ 131072     		y = 0.334793090820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81475830078125 × 2 - 1) × π
    0.6295166015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.97768473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334793090820312 × 2 - 1) × π
    0.330413818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0380256243727
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97768473} λ = 1.97768473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0380256243727))-π/2
    2×atan(2.82363658797577)-π/2
    2×1.23042633295837-π/2
    2.46085266591674-1.57079632675     		φ = 0.89005634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97768473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.312988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89005634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.996472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106792 KachelY 43882 1.97768473 0.89005634 113.312988 50.996472
    Oben rechts KachelX + 1 106793 KachelY 43882 1.97773267 0.89005634 113.315735 50.996472
    Unten links KachelX 106792 KachelY + 1 43883 1.97768473 0.89002617 113.312988 50.994743
    Unten rechts KachelX + 1 106793 KachelY + 1 43883 1.97773267 0.89002617 113.315735 50.994743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89005634-0.89002617) × R
    3.01700000000515e-05 × 6371000     		dl = 192.213070000328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89005634-0.89002617) × R
    3.01700000000515e-05 × 6371000     		dr = 192.213070000328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97768473-1.97773267) × cos(0.89005634) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.629368245352526 × 6371000     		do = 192.225262069171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97768473-1.97773267) × cos(0.89002617) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.629391690390534 × 6371000     		du = 192.232422787254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89005634)-sin(0.89002617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629368245352526-0.629391690390534)×R²
    abs(1.97773267-1.97768473)×2.34450380082185e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34450380082185e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34450380082185e-05×40589641000000     		ar = 36948.8959484757m²