Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106791 / 43867
↖ ↑ ↗
← N 51.022394°
E113.310241°		 ← 192.12 m → N 51.022394°
E113.312988°		 →
↑
192.09 m
↓
↑
192.09 m
↓
N 51.020666°
E113.310241°		 ← 192.13 m →
36 904 m²		 N 51.020666°
E113.312988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814754486083984 y=0.334682464599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814754486083984 × 217)
    floor (0.814754486083984 × 131072)
    floor (106791.5)     		tx = 106791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334682464599609 × 217)
    floor (0.334682464599609 × 131072)
    floor (43867.5)     		ty = 43867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106791 / 43867 ti = "17/106791/43867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106791/43867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106791 ÷ 217
    106791 ÷ 131072     		x = 0.814750671386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43867 ÷ 217
    43867 ÷ 131072     		y = 0.334678649902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814750671386719 × 2 - 1) × π
    0.629501342773438 × 3.1415926535     		Λ = 1.97763679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334678649902344 × 2 - 1) × π
    0.330642700195312 × 3.1415926535     		Φ = 1.038744677867
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97763679} λ = 1.97763679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.038744677867))-π/2
    2×atan(2.82566766386958)-π/2
    2×1.2306525444616-π/2
    2.4613050889232-1.57079632675     		φ = 0.89050876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97763679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.310241°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89050876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.022394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106791 KachelY 43867 1.97763679 0.89050876 113.310241 51.022394
    Oben rechts KachelX + 1 106792 KachelY 43867 1.97768473 0.89050876 113.312988 51.022394
    Unten links KachelX 106791 KachelY + 1 43868 1.97763679 0.89047861 113.310241 51.020666
    Unten rechts KachelX + 1 106792 KachelY + 1 43868 1.97768473 0.89047861 113.312988 51.020666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89050876-0.89047861) × R
    3.01500000000621e-05 × 6371000     		dl = 192.085650000395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89050876-0.89047861) × R
    3.01500000000621e-05 × 6371000     		dr = 192.085650000395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97763679-1.97768473) × cos(0.89050876) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.629016602111004 × 6371000     		do = 192.117861171913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97763679-1.97768473) × cos(0.89047861) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.629040040189884 × 6371000     		du = 192.125019764499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89050876)-sin(0.89047861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629016602111004-0.629040040189884)×R²
    abs(1.97768473-1.97763679)×2.34380788796118e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34380788796118e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34380788796118e-05×40589641000000     		ar = 36903.77177405m²