Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106788 / 43932
↖ ↑ ↗
← N 50.909961°
E113.302002°		 ← 192.58 m → N 50.909961°
E113.304749°		 →
↑
192.60 m
↓
↑
192.60 m
↓
N 50.908229°
E113.302002°		 ← 192.59 m →
37 091 m²		 N 50.908229°
E113.304749°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814731597900391 y=0.335178375244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814731597900391 × 217)
    floor (0.814731597900391 × 131072)
    floor (106788.5)     		tx = 106788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335178375244141 × 217)
    floor (0.335178375244141 × 131072)
    floor (43932.5)     		ty = 43932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106788 / 43932 ti = "17/106788/43932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106788/43932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106788 ÷ 217
    106788 ÷ 131072     		x = 0.814727783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43932 ÷ 217
    43932 ÷ 131072     		y = 0.335174560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814727783203125 × 2 - 1) × π
    0.62945556640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.97749298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335174560546875 × 2 - 1) × π
    0.32965087890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03562877939169
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97749298} λ = 1.97749298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03562877939169))-π/2
    2×atan(2.81687687302227)-π/2
    2×1.22967138131369-π/2
    2.45934276262738-1.57079632675     		φ = 0.88854644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97749298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.302002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88854644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.909961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106788 KachelY 43932 1.97749298 0.88854644 113.302002 50.909961
    Oben rechts KachelX + 1 106789 KachelY 43932 1.97754092 0.88854644 113.304749 50.909961
    Unten links KachelX 106788 KachelY + 1 43933 1.97749298 0.88851621 113.302002 50.908229
    Unten rechts KachelX + 1 106789 KachelY + 1 43933 1.97754092 0.88851621 113.304749 50.908229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88854644-0.88851621) × R
    3.023000000002e-05 × 6371000     		dl = 192.595330000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88854644-0.88851621) × R
    3.023000000002e-05 × 6371000     		dr = 192.595330000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97749298-1.97754092) × cos(0.88854644) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.630540881662994 × 6371000     		do = 192.583415382046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97749298-1.97754092) × cos(0.88851621) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.630564344571932 × 6371000     		du = 192.590581558371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88854644)-sin(0.88851621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630540881662994-0.630564344571932)×R²
    abs(1.97754092-1.97749298)×2.34629089382876e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34629089382876e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34629089382876e-05×40589641000000     		ar = 37091.3565269751m²