Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106788 / 43886
↖ ↑ ↗
← N 50.989557°
E113.302002°		 ← 192.25 m → N 50.989557°
E113.304749°		 →
↑
192.21 m
↓
↑
192.21 m
↓
N 50.987828°
E113.302002°		 ← 192.26 m →
36 954 m²		 N 50.987828°
E113.304749°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814731597900391 y=0.334827423095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814731597900391 × 217)
    floor (0.814731597900391 × 131072)
    floor (106788.5)     		tx = 106788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334827423095703 × 217)
    floor (0.334827423095703 × 131072)
    floor (43886.5)     		ty = 43886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106788 / 43886 ti = "17/106788/43886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106788/43886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106788 ÷ 217
    106788 ÷ 131072     		x = 0.814727783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43886 ÷ 217
    43886 ÷ 131072     		y = 0.334823608398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814727783203125 × 2 - 1) × π
    0.62945556640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.97749298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334823608398438 × 2 - 1) × π
    0.330352783203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03783387677422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97749298} λ = 1.97749298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03783387677422))-π/2
    2×atan(2.82309521434625)-π/2
    2×1.23036598853785-π/2
    2.46073197707569-1.57079632675     		φ = 0.88993565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97749298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.302002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88993565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.989557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106788 KachelY 43886 1.97749298 0.88993565 113.302002 50.989557
    Oben rechts KachelX + 1 106789 KachelY 43886 1.97754092 0.88993565 113.304749 50.989557
    Unten links KachelX 106788 KachelY + 1 43887 1.97749298 0.88990548 113.302002 50.987828
    Unten rechts KachelX + 1 106789 KachelY + 1 43887 1.97754092 0.88990548 113.304749 50.987828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88993565-0.88990548) × R
    3.01699999999405e-05 × 6371000     		dl = 192.213069999621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88993565-0.88990548) × R
    3.01699999999405e-05 × 6371000     		dr = 192.213069999621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97749298-1.97754092) × cos(0.88993565) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.629462029837442 × 6371000     		do = 192.253906264877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97749298-1.97754092) × cos(0.88990548) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.629485472583571 × 6371000     		du = 192.261066282961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88993565)-sin(0.88990548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629462029837442-0.629485472583571)×R²
    abs(1.97754092-1.97749298)×2.34427461281994e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34427461281994e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34427461281994e-05×40589641000000     		ar = 36954.4016697978m²