Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106782 / 43810
↖ ↑ ↗
← N 51.120765°
E113.285522°		 ← 191.71 m → N 51.120765°
E113.288269°		 →
↑
191.70 m
↓
↑
191.70 m
↓
N 51.119041°
E113.285522°		 ← 191.72 m →
36 752 m²		 N 51.119041°
E113.288269°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814685821533203 y=0.334247589111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814685821533203 × 217)
    floor (0.814685821533203 × 131072)
    floor (106782.5)     		tx = 106782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334247589111328 × 217)
    floor (0.334247589111328 × 131072)
    floor (43810.5)     		ty = 43810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106782 / 43810 ti = "17/106782/43810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106782/43810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106782 ÷ 217
    106782 ÷ 131072     		x = 0.814682006835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43810 ÷ 217
    43810 ÷ 131072     		y = 0.334243774414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814682006835938 × 2 - 1) × π
    0.629364013671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.97720536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334243774414062 × 2 - 1) × π
    0.331512451171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04147708114534
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97720536} λ = 1.97720536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04147708114534))-π/2
    2×atan(2.83339908532827)-π/2
    2×1.23151099548846-π/2
    2.46302199097691-1.57079632675     		φ = 0.89222566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97720536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.285522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89222566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.120765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106782 KachelY 43810 1.97720536 0.89222566 113.285522 51.120765
    Oben rechts KachelX + 1 106783 KachelY 43810 1.97725330 0.89222566 113.288269 51.120765
    Unten links KachelX 106782 KachelY + 1 43811 1.97720536 0.89219557 113.285522 51.119041
    Unten rechts KachelX + 1 106783 KachelY + 1 43811 1.97725330 0.89219557 113.288269 51.119041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89222566-0.89219557) × R
    3.00899999999826e-05 × 6371000     		dl = 191.703389999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89222566-0.89219557) × R
    3.00899999999826e-05 × 6371000     		dr = 191.703389999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97720536-1.97725330) × cos(0.89222566) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.627680971580716 × 6371000     		do = 191.709925229721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97720536-1.97725330) × cos(0.89219557) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.627704395479287 × 6371000     		du = 191.717079491276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89222566)-sin(0.89219557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627680971580716-0.627704395479287)×R²
    abs(1.97725330-1.97720536)×2.34238985710178e-05×R²
    4.79400000001906e-05×2.34238985710178e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×2.34238985710178e-05×40589641000000     		ar = 36752.1283140133m²