Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 10678 / 5823
↖ ↑ ↗
← N 81.362113°
W121.343994°		 ← 91.74 m → N 81.362113°
W121.338501°		 →
↑
91.74 m
↓
↑
91.74 m
↓
N 81.361287°
W121.343994°		 ← 91.75 m →
8 417 m²		 N 81.361287°
W121.338501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162940979003906 y=0.0888595581054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162940979003906 × 216)
    floor (0.162940979003906 × 65536)
    floor (10678.5)     		tx = 10678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0888595581054688 × 216)
    floor (0.0888595581054688 × 65536)
    floor (5823.5)     		ty = 5823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10678 / 5823 ti = "16/10678/5823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10678/5823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10678 ÷ 216
    10678 ÷ 65536     		x = 0.162933349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5823 ÷ 216
    5823 ÷ 65536     		y = 0.0888519287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162933349609375 × 2 - 1) × π
    -0.67413330078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.11785223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0888519287109375 × 2 - 1) × π
    0.822296142578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.58331952052483
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11785223} λ = -2.11785223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58331952052483))-π/2
    2×atan(13.2410191222318)-π/2
    2×1.49541653651382-π/2
    2.99083307302764-1.57079632675     		φ = 1.42003675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11785223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.343994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42003675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.362113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10678 KachelY 5823 -2.11785223 1.42003675 -121.343994 81.362113
    Oben rechts KachelX + 1 10679 KachelY 5823 -2.11775635 1.42003675 -121.338501 81.362113
    Unten links KachelX 10678 KachelY + 1 5824 -2.11785223 1.42002235 -121.343994 81.361287
    Unten rechts KachelX + 1 10679 KachelY + 1 5824 -2.11775635 1.42002235 -121.338501 81.361287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42003675-1.42002235) × R
    1.439999999997e-05 × 6371000     		dl = 91.7423999998088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42003675-1.42002235) × R
    1.439999999997e-05 × 6371000     		dr = 91.7423999998088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11785223--2.11775635) × cos(1.42003675) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.150189136857965 × 6371000     		do = 91.7432565295502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11785223--2.11775635) × cos(1.42002235) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.150203373507267 × 6371000     		du = 91.7519530078469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42003675)-sin(1.42002235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150189136857965-0.150203373507267)×R²
    abs(-2.11775635--2.11785223)×1.42366493026402e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.42366493026402e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.42366493026402e-05×40589641000000     		ar = 8417.14545593114m²