Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106775 / 100593
↖ ↑ ↗
← S 68.896176°
E113.266296°		 ← 109.97 m → S 68.896176°
E113.269043°		 →
↑
109.96 m
↓
↑
109.96 m
↓
S 68.897165°
E113.266296°		 ← 109.97 m →
12 093 m²		 S 68.897165°
E113.269043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814632415771484 y=0.767467498779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814632415771484 × 217)
    floor (0.814632415771484 × 131072)
    floor (106775.5)     		tx = 106775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767467498779297 × 217)
    floor (0.767467498779297 × 131072)
    floor (100593.5)     		ty = 100593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106775 / 100593 ti = "17/106775/100593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106775/100593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106775 ÷ 217
    106775 ÷ 131072     		x = 0.814628601074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100593 ÷ 217
    100593 ÷ 131072     		y = 0.767463684082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814628601074219 × 2 - 1) × π
    0.629257202148438 × 3.1415926535     		Λ = 1.97686980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767463684082031 × 2 - 1) × π
    -0.534927368164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.68052388998031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97686980} λ = 1.97686980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68052388998031))-π/2
    2×atan(0.186276362152474)-π/2
    2×0.184165608156475-π/2
    0.368331216312949-1.57079632675     		φ = -1.20246511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97686980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.266296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20246511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.896176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106775 KachelY 100593 1.97686980 -1.20246511 113.266296 -68.896176
    Oben rechts KachelX + 1 106776 KachelY 100593 1.97691774 -1.20246511 113.269043 -68.896176
    Unten links KachelX 106775 KachelY + 1 100594 1.97686980 -1.20248237 113.266296 -68.897165
    Unten rechts KachelX + 1 106776 KachelY + 1 100594 1.97691774 -1.20248237 113.269043 -68.897165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20246511--1.20248237) × R
    1.72600000001299e-05 × 6371000     		dl = 109.963460000828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20246511--1.20248237) × R
    1.72600000001299e-05 × 6371000     		dr = 109.963460000828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97686980-1.97691774) × cos(-1.20246511) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360059076951118 × 6371000     		do = 109.97131002144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97686980-1.97691774) × cos(-1.20248237) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360042974534232 × 6371000     		du = 109.966391928847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20246511)-sin(-1.20248237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360059076951118-0.360042974534232)×R²
    abs(1.97691774-1.97686980)×1.6102416885988e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6102416885988e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6102416885988e-05×40589641000000     		ar = 12092.5553459825m²