Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106770 / 100598
↖ ↑ ↗
← S 68.901120°
E113.252564°		 ← 109.95 m → S 68.901120°
E113.255310°		 →
↑
109.96 m
↓
↑
109.96 m
↓
S 68.902109°
E113.252564°		 ← 109.94 m →
12 090 m²		 S 68.902109°
E113.255310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814594268798828 y=0.767505645751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814594268798828 × 217)
    floor (0.814594268798828 × 131072)
    floor (106770.5)     		tx = 106770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767505645751953 × 217)
    floor (0.767505645751953 × 131072)
    floor (100598.5)     		ty = 100598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106770 / 100598 ti = "17/106770/100598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106770/100598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106770 ÷ 217
    106770 ÷ 131072     		x = 0.814590454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100598 ÷ 217
    100598 ÷ 131072     		y = 0.767501831054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814590454101562 × 2 - 1) × π
    0.629180908203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.97663012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767501831054688 × 2 - 1) × π
    -0.535003662109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.68076357447841
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97663012} λ = 1.97663012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68076357447841))-π/2
    2×atan(0.18623171994634)-π/2
    2×0.184122462691041-π/2
    0.368244925382081-1.57079632675     		φ = -1.20255140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97663012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.252564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20255140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.901120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106770 KachelY 100598 1.97663012 -1.20255140 113.252564 -68.901120
    Oben rechts KachelX + 1 106771 KachelY 100598 1.97667806 -1.20255140 113.255310 -68.901120
    Unten links KachelX 106770 KachelY + 1 100599 1.97663012 -1.20256866 113.252564 -68.902109
    Unten rechts KachelX + 1 106771 KachelY + 1 100599 1.97667806 -1.20256866 113.255310 -68.902109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20255140--1.20256866) × R
    1.72600000001299e-05 × 6371000     		dl = 109.963460000828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20255140--1.20256866) × R
    1.72600000001299e-05 × 6371000     		dr = 109.963460000828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97663012-1.97667806) × cos(-1.20255140) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.359978573123747 × 6371000     		do = 109.946722080393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97663012-1.97667806) × cos(-1.20256866) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.359962470170674 × 6371000     		du = 109.941803824034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20255140)-sin(-1.20256866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359978573123747-0.359962470170674)×R²
    abs(1.97667806-1.97663012)×1.61029530735823e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61029530735823e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61029530735823e-05×40589641000000     		ar = 12089.8515618112m²