Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10677 / 5825
↖ ↑ ↗
← N 81.360462°
W121.349487°		 ← 91.75 m → N 81.360462°
W121.343994°		 →
↑
91.81 m
↓
↑
91.81 m
↓
N 81.359637°
W121.349487°		 ← 91.76 m →
8 424 m²		 N 81.359637°
W121.343994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162925720214844 y=0.0888900756835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162925720214844 × 216)
    floor (0.162925720214844 × 65536)
    floor (10677.5)     		tx = 10677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0888900756835938 × 216)
    floor (0.0888900756835938 × 65536)
    floor (5825.5)     		ty = 5825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10677 / 5825 ti = "16/10677/5825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10677/5825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10677 ÷ 216
    10677 ÷ 65536     		x = 0.162918090820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5825 ÷ 216
    5825 ÷ 65536     		y = 0.0888824462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162918090820312 × 2 - 1) × π
    -0.674163818359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.11794810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0888824462890625 × 2 - 1) × π
    0.822235107421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.58312777292635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11794810} λ = -2.11794810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58312777292635))-π/2
    2×atan(13.2384804320153)-π/2
    2×1.49540213594538-π/2
    2.99080427189075-1.57079632675     		φ = 1.42000795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11794810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.349487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42000795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.360462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10677 KachelY 5825 -2.11794810 1.42000795 -121.349487 81.360462
    Oben rechts KachelX + 1 10678 KachelY 5825 -2.11785223 1.42000795 -121.343994 81.360462
    Unten links KachelX 10677 KachelY + 1 5826 -2.11794810 1.41999354 -121.349487 81.359637
    Unten rechts KachelX + 1 10678 KachelY + 1 5826 -2.11785223 1.41999354 -121.343994 81.359637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42000795-1.41999354) × R
    1.44099999999092e-05 × 6371000     		dl = 91.8061099994216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42000795-1.41999354) × R
    1.44099999999092e-05 × 6371000     		dr = 91.8061099994216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11794810--2.11785223) × cos(1.42000795) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.150217610125424 × 6371000     		do = 91.7510791032351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11794810--2.11785223) × cos(1.41999354) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.150231856598939 × 6371000     		du = 91.7597806750238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42000795)-sin(1.41999354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150217610125424-0.150231856598939)×R²
    abs(-2.11785223--2.11794810)×1.42464735151948e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.42464735151948e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.42464735151948e-05×40589641000000     		ar = 8423.70908950462m²