Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106769 / 100583
↖ ↑ ↗
← S 68.886284°
E113.249817°		 ← 110.02 m → S 68.886284°
E113.252564°		 →
↑
110.03 m
↓
↑
110.03 m
↓
S 68.887274°
E113.249817°		 ← 110.02 m →
12 105 m²		 S 68.887274°
E113.252564°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814586639404297 y=0.767391204833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814586639404297 × 217)
    floor (0.814586639404297 × 131072)
    floor (106769.5)     		tx = 106769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767391204833984 × 217)
    floor (0.767391204833984 × 131072)
    floor (100583.5)     		ty = 100583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106769 / 100583 ti = "17/106769/100583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106769/100583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106769 ÷ 217
    106769 ÷ 131072     		x = 0.814582824707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100583 ÷ 217
    100583 ÷ 131072     		y = 0.767387390136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814582824707031 × 2 - 1) × π
    0.629165649414062 × 3.1415926535     		Λ = 1.97658218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767387390136719 × 2 - 1) × π
    -0.534774780273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.68004452098411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97658218} λ = 1.97658218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68004452098411))-π/2
    2×atan(0.186365678671289)-π/2
    2×0.184251928035524-π/2
    0.368503856071049-1.57079632675     		φ = -1.20229247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97658218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.249817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20229247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.886284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106769 KachelY 100583 1.97658218 -1.20229247 113.249817 -68.886284
    Oben rechts KachelX + 1 106770 KachelY 100583 1.97663012 -1.20229247 113.252564 -68.886284
    Unten links KachelX 106769 KachelY + 1 100584 1.97658218 -1.20230974 113.249817 -68.887274
    Unten rechts KachelX + 1 106770 KachelY + 1 100584 1.97663012 -1.20230974 113.252564 -68.887274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20229247--1.20230974) × R
    1.72700000000692e-05 × 6371000     		dl = 110.027170000441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20229247--1.20230974) × R
    1.72700000000692e-05 × 6371000     		dr = 110.027170000441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97658218-1.97663012) × cos(-1.20229247) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360220132534341 × 6371000     		do = 110.020500542127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97658218-1.97663012) × cos(-1.20230974) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360204021861827 × 6371000     		du = 110.015579928053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20229247)-sin(-1.20230974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360220132534341-0.360204021861827)×R²
    abs(1.97663012-1.97658218)×1.6110672513503e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6110672513503e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6110672513503e-05×40589641000000     		ar = 12104.9736163865m²