Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106768 / 100597
↖ ↑ ↗
← S 68.900131°
E113.247071°		 ← 109.93 m → S 68.900131°
E113.249817°		 →
↑
109.96 m
↓
↑
109.96 m
↓
S 68.901120°
E113.247071°		 ← 109.92 m →
12 088 m²		 S 68.901120°
E113.249817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814579010009766 y=0.767498016357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814579010009766 × 217)
    floor (0.814579010009766 × 131072)
    floor (106768.5)     		tx = 106768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767498016357422 × 217)
    floor (0.767498016357422 × 131072)
    floor (100597.5)     		ty = 100597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106768 / 100597 ti = "17/106768/100597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106768/100597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106768 ÷ 217
    106768 ÷ 131072     		x = 0.8145751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100597 ÷ 217
    100597 ÷ 131072     		y = 0.767494201660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8145751953125 × 2 - 1) × π
    0.629150390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.97653425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767494201660156 × 2 - 1) × π
    -0.534988403320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.68071563757879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97653425} λ = 1.97653425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68071563757879))-π/2
    2×atan(0.186240647531583)-π/2
    2×0.184131091012313-π/2
    0.368262182024626-1.57079632675     		φ = -1.20253414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97653425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.247071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20253414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.900131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106768 KachelY 100597 1.97653425 -1.20253414 113.247071 -68.900131
    Oben rechts KachelX + 1 106769 KachelY 100597 1.97658218 -1.20253414 113.249817 -68.900131
    Unten links KachelX 106768 KachelY + 1 100598 1.97653425 -1.20255140 113.247071 -68.901120
    Unten rechts KachelX + 1 106769 KachelY + 1 100598 1.97658218 -1.20255140 113.249817 -68.901120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20253414--1.20255140) × R
    1.72599999999079e-05 × 6371000     		dl = 109.963459999413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20253414--1.20255140) × R
    1.72599999999079e-05 × 6371000     		dr = 109.963459999413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97653425-1.97658218) × cos(-1.20253414) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.35999467596958 × 6371000     		do = 109.928705043331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97653425-1.97658218) × cos(-1.20255140) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.359978573123747 × 6371000     		du = 109.923787845638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20253414)-sin(-1.20255140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35999467596958-0.359978573123747)×R²
    abs(1.97658218-1.97653425)×1.61028458330326e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.61028458330326e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.61028458330326e-05×40589641000000     		ar = 12087.8704039961m²