Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106767 / 43921
↖ ↑ ↗
← N 50.929007°
E113.244324°		 ← 192.50 m → N 50.929007°
E113.247071°		 →
↑
192.53 m
↓
↑
192.53 m
↓
N 50.927276°
E113.244324°		 ← 192.51 m →
37 064 m²		 N 50.927276°
E113.247071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814571380615234 y=0.335094451904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814571380615234 × 217)
    floor (0.814571380615234 × 131072)
    floor (106767.5)     		tx = 106767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335094451904297 × 217)
    floor (0.335094451904297 × 131072)
    floor (43921.5)     		ty = 43921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106767 / 43921 ti = "17/106767/43921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106767/43921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106767 ÷ 217
    106767 ÷ 131072     		x = 0.814567565917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43921 ÷ 217
    43921 ÷ 131072     		y = 0.335090637207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814567565917969 × 2 - 1) × π
    0.629135131835938 × 3.1415926535     		Λ = 1.97648631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335090637207031 × 2 - 1) × π
    0.329818725585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.03615608528751
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97648631} λ = 1.97648631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03615608528751))-π/2
    2×atan(2.81836262049249)-π/2
    2×1.22983759125888-π/2
    2.45967518251776-1.57079632675     		φ = 0.88887886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97648631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.244324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88887886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.929007°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106767 KachelY 43921 1.97648631 0.88887886 113.244324 50.929007
    Oben rechts KachelX + 1 106768 KachelY 43921 1.97653425 0.88887886 113.247071 50.929007
    Unten links KachelX 106767 KachelY + 1 43922 1.97648631 0.88884864 113.244324 50.927276
    Unten rechts KachelX + 1 106768 KachelY + 1 43922 1.97653425 0.88884864 113.247071 50.927276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88887886-0.88884864) × R
    3.02200000000807e-05 × 6371000     		dl = 192.531620000514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88887886-0.88884864) × R
    3.02200000000807e-05 × 6371000     		dr = 192.531620000514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97648631-1.97653425) × cos(0.88887886) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.630282837038984 × 6371000     		do = 192.504601911805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97648631-1.97653425) × cos(0.88884864) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.630306298519619 × 6371000     		du = 192.511767651889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88887886)-sin(0.88884864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630282837038984-0.630306298519619)×R²
    abs(1.97653425-1.97648631)×2.34614806352562e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34614806352562e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34614806352562e-05×40589641000000     		ar = 37063.9126822188m²