Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106765 / 100599
↖ ↑ ↗
← S 68.902109°
E113.238830°		 ← 109.94 m → S 68.902109°
E113.241577°		 →
↑
109.90 m
↓
↑
109.90 m
↓
S 68.903097°
E113.238830°		 ← 109.94 m →
12 082 m²		 S 68.903097°
E113.241577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814556121826172 y=0.767513275146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814556121826172 × 217)
    floor (0.814556121826172 × 131072)
    floor (106765.5)     		tx = 106765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767513275146484 × 217)
    floor (0.767513275146484 × 131072)
    floor (100599.5)     		ty = 100599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106765 / 100599 ti = "17/106765/100599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106765/100599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106765 ÷ 217
    106765 ÷ 131072     		x = 0.814552307128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100599 ÷ 217
    100599 ÷ 131072     		y = 0.767509460449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814552307128906 × 2 - 1) × π
    0.629104614257812 × 3.1415926535     		Λ = 1.97639043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767509460449219 × 2 - 1) × π
    -0.535018920898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.68081151137803
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97639043} λ = 1.97639043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68081151137803))-π/2
    2×atan(0.186222792789046)-π/2
    2×0.184113834755646-π/2
    0.368227669511292-1.57079632675     		φ = -1.20256866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97639043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.238830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20256866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.902109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106765 KachelY 100599 1.97639043 -1.20256866 113.238830 -68.902109
    Oben rechts KachelX + 1 106766 KachelY 100599 1.97643837 -1.20256866 113.241577 -68.902109
    Unten links KachelX 106765 KachelY + 1 100600 1.97639043 -1.20258591 113.238830 -68.903097
    Unten rechts KachelX + 1 106766 KachelY + 1 100600 1.97643837 -1.20258591 113.241577 -68.903097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20256866--1.20258591) × R
    1.72499999999687e-05 × 6371000     		dl = 109.8997499998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20256866--1.20258591) × R
    1.72499999999687e-05 × 6371000     		dr = 109.8997499998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97639043-1.97643837) × cos(-1.20256866) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.359962470170674 × 6371000     		do = 109.941803824543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97639043-1.97643837) × cos(-1.20258591) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.359946376440095 × 6371000     		du = 109.936888384972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20256866)-sin(-1.20258591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359962470170674-0.359946376440095)×R²
    abs(1.97643837-1.97639043)×1.60937305790365e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.60937305790365e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.60937305790365e-05×40589641000000     		ar = 12082.3066522787m²