Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106763 / 43917
↖ ↑ ↗
← N 50.935931°
E113.233337°		 ← 192.48 m → N 50.935931°
E113.236084°		 →
↑
192.47 m
↓
↑
192.47 m
↓
N 50.934200°
E113.233337°		 ← 192.48 m →
37 046 m²		 N 50.934200°
E113.236084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814540863037109 y=0.335063934326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814540863037109 × 217)
    floor (0.814540863037109 × 131072)
    floor (106763.5)     		tx = 106763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335063934326172 × 217)
    floor (0.335063934326172 × 131072)
    floor (43917.5)     		ty = 43917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106763 / 43917 ti = "17/106763/43917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106763/43917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106763 ÷ 217
    106763 ÷ 131072     		x = 0.814537048339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43917 ÷ 217
    43917 ÷ 131072     		y = 0.335060119628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814537048339844 × 2 - 1) × π
    0.629074096679688 × 3.1415926535     		Λ = 1.97629456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335060119628906 × 2 - 1) × π
    0.329879760742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.03634783288599
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97629456} λ = 1.97629456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03634783288599))-π/2
    2×atan(2.81890308657149)-π/2
    2×1.22989801437164-π/2
    2.45979602874328-1.57079632675     		φ = 0.88899970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97629456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.233337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88899970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.935931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106763 KachelY 43917 1.97629456 0.88899970 113.233337 50.935931
    Oben rechts KachelX + 1 106764 KachelY 43917 1.97634250 0.88899970 113.236084 50.935931
    Unten links KachelX 106763 KachelY + 1 43918 1.97629456 0.88896949 113.233337 50.934200
    Unten rechts KachelX + 1 106764 KachelY + 1 43918 1.97634250 0.88896949 113.236084 50.934200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88899970-0.88896949) × R
    3.02099999999195e-05 × 6371000     		dl = 192.467909999487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88899970-0.88896949) × R
    3.02099999999195e-05 × 6371000     		dr = 192.467909999487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97629456-1.97634250) × cos(0.88899970) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.630189016418281 × 6371000     		do = 192.475946679299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97629456-1.97634250) × cos(0.88896949) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.630212472436217 × 6371000     		du = 192.483110750935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88899970)-sin(0.88896949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630189016418281-0.630212472436217)×R²
    abs(1.97634250-1.97629456)×2.34560179367405e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34560179367405e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34560179367405e-05×40589641000000     		ar = 37046.1326123631m²