Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10676 / 5820
↖ ↑ ↗
← N 81.364587°
W121.354980°		 ← 91.71 m → N 81.364587°
W121.349487°		 →
↑
91.74 m
↓
↑
91.74 m
↓
N 81.363762°
W121.354980°		 ← 91.72 m →
8 414 m²		 N 81.363762°
W121.349487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162910461425781 y=0.0888137817382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162910461425781 × 216)
    floor (0.162910461425781 × 65536)
    floor (10676.5)     		tx = 10676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0888137817382812 × 216)
    floor (0.0888137817382812 × 65536)
    floor (5820.5)     		ty = 5820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10676 / 5820 ti = "16/10676/5820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10676/5820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10676 ÷ 216
    10676 ÷ 65536     		x = 0.16290283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5820 ÷ 216
    5820 ÷ 65536     		y = 0.08880615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16290283203125 × 2 - 1) × π
    -0.6741943359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.11804397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08880615234375 × 2 - 1) × π
    0.8223876953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.58360714192255
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11804397} λ = -2.11804397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58360714192255))-π/2
    2×atan(13.2448280704002)-π/2
    2×1.49543813224847-π/2
    2.99087626449693-1.57079632675     		φ = 1.42007994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11804397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.354980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42007994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.364587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10676 KachelY 5820 -2.11804397 1.42007994 -121.354980 81.364587
    Oben rechts KachelX + 1 10677 KachelY 5820 -2.11794810 1.42007994 -121.349487 81.364587
    Unten links KachelX 10676 KachelY + 1 5821 -2.11804397 1.42006554 -121.354980 81.363762
    Unten rechts KachelX + 1 10677 KachelY + 1 5821 -2.11794810 1.42006554 -121.349487 81.363762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42007994-1.42006554) × R
    1.439999999997e-05 × 6371000     		dl = 91.7423999998088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42007994-1.42006554) × R
    1.439999999997e-05 × 6371000     		dr = 91.7423999998088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11804397--2.11794810) × cos(1.42007994) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.150146436609847 × 6371000     		do = 91.7076071903728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11804397--2.11794810) × cos(1.42006554) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.150160673352549 × 6371000     		du = 91.7163028186997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42007994)-sin(1.42006554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150146436609847-0.150160673352549)×R²
    abs(-2.11794810--2.11804397)×1.42367427018175e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.42367427018175e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.42367427018175e-05×40589641000000     		ar = 8413.87486092208m²