Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106758 / 44291
↖ ↑ ↗
← N 50.284074°
E113.219605°		 ← 195.12 m → N 50.284074°
E113.222351°		 →
↑
195.14 m
↓
↑
195.14 m
↓
N 50.282319°
E113.219605°		 ← 195.13 m →
38 077 m²		 N 50.282319°
E113.222351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814502716064453 y=0.337917327880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814502716064453 × 217)
    floor (0.814502716064453 × 131072)
    floor (106758.5)     		tx = 106758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337917327880859 × 217)
    floor (0.337917327880859 × 131072)
    floor (44291.5)     		ty = 44291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106758 / 44291 ti = "17/106758/44291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106758/44291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106758 ÷ 217
    106758 ÷ 131072     		x = 0.814498901367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44291 ÷ 217
    44291 ÷ 131072     		y = 0.337913513183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814498901367188 × 2 - 1) × π
    0.628997802734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.97605488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337913513183594 × 2 - 1) × π
    0.324172973632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.01841943242809
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97605488} λ = 1.97605488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01841943242809))-π/2
    2×atan(2.76881500441454)-π/2
    2×1.22420949404187-π/2
    2.44841898808373-1.57079632675     		φ = 0.87762266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97605488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.219605°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87762266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.284074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106758 KachelY 44291 1.97605488 0.87762266 113.219605 50.284074
    Oben rechts KachelX + 1 106759 KachelY 44291 1.97610281 0.87762266 113.222351 50.284074
    Unten links KachelX 106758 KachelY + 1 44292 1.97605488 0.87759203 113.219605 50.282319
    Unten rechts KachelX + 1 106759 KachelY + 1 44292 1.97610281 0.87759203 113.222351 50.282319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87762266-0.87759203) × R
    3.06300000000315e-05 × 6371000     		dl = 195.1437300002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87762266-0.87759203) × R
    3.06300000000315e-05 × 6371000     		dr = 195.1437300002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97605488-1.97610281) × cos(0.87762266) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.638981650331785 × 6371000     		do = 195.120733878184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97605488-1.97610281) × cos(0.87759203) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.639005211301205 × 6371000     		du = 195.127928503634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87762266)-sin(0.87759203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638981650331785-0.639005211301205)×R²
    abs(1.97610281-1.97605488)×2.35609694193561e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35609694193561e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35609694193561e-05×40589641000000     		ar = 38077.2898051663m²