Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106753 / 100606
↖ ↑ ↗
← S 68.909028°
E113.205871°		 ← 109.91 m → S 68.909028°
E113.208618°		 →
↑
109.90 m
↓
↑
109.90 m
↓
S 68.910017°
E113.205871°		 ← 109.90 m →
12 079 m²		 S 68.910017°
E113.208618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814464569091797 y=0.767566680908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814464569091797 × 217)
    floor (0.814464569091797 × 131072)
    floor (106753.5)     		tx = 106753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767566680908203 × 217)
    floor (0.767566680908203 × 131072)
    floor (100606.5)     		ty = 100606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106753 / 100606 ti = "17/106753/100606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106753/100606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106753 ÷ 217
    106753 ÷ 131072     		x = 0.814460754394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100606 ÷ 217
    100606 ÷ 131072     		y = 0.767562866210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814460754394531 × 2 - 1) × π
    0.628921508789062 × 3.1415926535     		Λ = 1.97581519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767562866210938 × 2 - 1) × π
    -0.535125732421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.68114706967537
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97581519} λ = 1.97581519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68114706967537))-π/2
    2×atan(0.186160314668884)-π/2
    2×0.18405345001123-π/2
    0.368106900022459-1.57079632675     		φ = -1.20268943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97581519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.205871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20268943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.909028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106753 KachelY 100606 1.97581519 -1.20268943 113.205871 -68.909028
    Oben rechts KachelX + 1 106754 KachelY 100606 1.97586313 -1.20268943 113.208618 -68.909028
    Unten links KachelX 106753 KachelY + 1 100607 1.97581519 -1.20270668 113.205871 -68.910017
    Unten rechts KachelX + 1 106754 KachelY + 1 100607 1.97586313 -1.20270668 113.208618 -68.910017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20268943--1.20270668) × R
    1.72499999999687e-05 × 6371000     		dl = 109.8997499998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20268943--1.20270668) × R
    1.72499999999687e-05 × 6371000     		dr = 109.8997499998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97581519-1.97586313) × cos(-1.20268943) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.359849793147346 × 6371000     		do = 109.907389360803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97581519-1.97586313) × cos(-1.20270668) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.359833698666997 × 6371000     		du = 109.902473692233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20268943)-sin(-1.20270668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359849793147346-0.359833698666997)×R²
    abs(1.97586313-1.97581519)×1.60944803483942e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60944803483942e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60944803483942e-05×40589641000000     		ar = 12078.5244989838m²