Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106751 / 100609
↖ ↑ ↗
← S 68.911993°
E113.200379°		 ← 109.87 m → S 68.911993°
E113.203125°		 →
↑
109.90 m
↓
↑
109.90 m
↓
S 68.912981°
E113.200379°		 ← 109.86 m →
12 074 m²		 S 68.912981°
E113.203125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814449310302734 y=0.767589569091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814449310302734 × 217)
    floor (0.814449310302734 × 131072)
    floor (106751.5)     		tx = 106751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767589569091797 × 217)
    floor (0.767589569091797 × 131072)
    floor (100609.5)     		ty = 100609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106751 / 100609 ti = "17/106751/100609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106751/100609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106751 ÷ 217
    106751 ÷ 131072     		x = 0.814445495605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100609 ÷ 217
    100609 ÷ 131072     		y = 0.767585754394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814445495605469 × 2 - 1) × π
    0.628890991210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.97571932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767585754394531 × 2 - 1) × π
    -0.535171508789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.68129088037423
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97571932} λ = 1.97571932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68129088037423))-π/2
    2×atan(0.186133544748878)-π/2
    2×0.18402757662175-π/2
    0.3680551532435-1.57079632675     		φ = -1.20274117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97571932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.200379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20274117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.911993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106751 KachelY 100609 1.97571932 -1.20274117 113.200379 -68.911993
    Oben rechts KachelX + 1 106752 KachelY 100609 1.97576725 -1.20274117 113.203125 -68.911993
    Unten links KachelX 106751 KachelY + 1 100610 1.97571932 -1.20275842 113.200379 -68.912981
    Unten rechts KachelX + 1 106752 KachelY + 1 100610 1.97576725 -1.20275842 113.203125 -68.912981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20274117--1.20275842) × R
    1.72500000001907e-05 × 6371000     		dl = 109.899750001215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20274117--1.20275842) × R
    1.72500000001907e-05 × 6371000     		dr = 109.899750001215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97571932-1.97576725) × cos(-1.20274117) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.359801518715375 × 6371000     		do = 109.869722152077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97571932-1.97576725) × cos(-1.20275842) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.359785423913884 × 6371000     		du = 109.864807410821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20274117)-sin(-1.20275842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359801518715375-0.359785423913884)×R²
    abs(1.97576725-1.97571932)×1.60948014912288e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.60948014912288e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.60948014912288e-05×40589641000000     		ar = 12074.3849330258m²