Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106749 / 43911
↖ ↑ ↗
← N 50.946315°
E113.194885°		 ← 192.43 m → N 50.946315°
E113.197632°		 →
↑
192.47 m
↓
↑
192.47 m
↓
N 50.944584°
E113.194885°		 ← 192.44 m →
37 038 m²		 N 50.944584°
E113.197632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814434051513672 y=0.335018157958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814434051513672 × 217)
    floor (0.814434051513672 × 131072)
    floor (106749.5)     		tx = 106749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335018157958984 × 217)
    floor (0.335018157958984 × 131072)
    floor (43911.5)     		ty = 43911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106749 / 43911 ti = "17/106749/43911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106749/43911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106749 ÷ 217
    106749 ÷ 131072     		x = 0.814430236816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43911 ÷ 217
    43911 ÷ 131072     		y = 0.335014343261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814430236816406 × 2 - 1) × π
    0.628860473632812 × 3.1415926535     		Λ = 1.97562344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335014343261719 × 2 - 1) × π
    0.329971313476562 × 3.1415926535     		Φ = 1.03663545428371
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97562344} λ = 1.97562344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03663545428371))-π/2
    2×atan(2.81971398002686)-π/2
    2×1.22998863217497-π/2
    2.45997726434995-1.57079632675     		φ = 0.88918094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97562344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.194885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88918094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.946315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106749 KachelY 43911 1.97562344 0.88918094 113.194885 50.946315
    Oben rechts KachelX + 1 106750 KachelY 43911 1.97567138 0.88918094 113.197632 50.946315
    Unten links KachelX 106749 KachelY + 1 43912 1.97562344 0.88915073 113.194885 50.944584
    Unten rechts KachelX + 1 106750 KachelY + 1 43912 1.97567138 0.88915073 113.197632 50.944584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88918094-0.88915073) × R
    3.02100000000305e-05 × 6371000     		dl = 192.467910000194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88918094-0.88915073) × R
    3.02100000000305e-05 × 6371000     		dr = 192.467910000194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97562344-1.97567138) × cos(0.88918094) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.630048283764624 × 6371000     		do = 192.432963305305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97562344-1.97567138) × cos(0.88915073) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.630071743232689 × 6371000     		du = 192.440128430699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88918094)-sin(0.88915073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630048283764624-0.630071743232689)×R²
    abs(1.97567138-1.97562344)×2.34594680647016e-05×R²
    4.79400000001906e-05×2.34594680647016e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×2.34594680647016e-05×40589641000000     		ar = 37037.8597937583m²