Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106747 / 100589
↖ ↑ ↗
← S 68.892220°
E113.189392°		 ← 109.99 m → S 68.892220°
E113.192139°		 →
↑
110.03 m
↓
↑
110.03 m
↓
S 68.893209°
E113.189392°		 ← 109.99 m →
12 102 m²		 S 68.893209°
E113.192139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814418792724609 y=0.767436981201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814418792724609 × 217)
    floor (0.814418792724609 × 131072)
    floor (106747.5)     		tx = 106747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767436981201172 × 217)
    floor (0.767436981201172 × 131072)
    floor (100589.5)     		ty = 100589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106747 / 100589 ti = "17/106747/100589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106747/100589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106747 ÷ 217
    106747 ÷ 131072     		x = 0.814414978027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100589 ÷ 217
    100589 ÷ 131072     		y = 0.767433166503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814414978027344 × 2 - 1) × π
    0.628829956054688 × 3.1415926535     		Λ = 1.97552757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767433166503906 × 2 - 1) × π
    -0.534866333007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.68033214238183
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97552757} λ = 1.97552757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68033214238183))-π/2
    2×atan(0.186312083622214)-π/2
    2×0.184200131475857-π/2
    0.368400262951713-1.57079632675     		φ = -1.20239606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97552757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.189392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20239606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.892220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106747 KachelY 100589 1.97552757 -1.20239606 113.189392 -68.892220
    Oben rechts KachelX + 1 106748 KachelY 100589 1.97557551 -1.20239606 113.192139 -68.892220
    Unten links KachelX 106747 KachelY + 1 100590 1.97552757 -1.20241333 113.189392 -68.893209
    Unten rechts KachelX + 1 106748 KachelY + 1 100590 1.97557551 -1.20241333 113.192139 -68.893209
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20239606--1.20241333) × R
    1.72699999998471e-05 × 6371000     		dl = 110.027169999026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20239606--1.20241333) × R
    1.72699999998471e-05 × 6371000     		dr = 110.027169999026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97552757-1.97557551) × cos(-1.20239606) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.360123494875017 × 6371000     		do = 109.990984914026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97552757-1.97557551) × cos(-1.20241333) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.360107383558171 × 6371000     		du = 109.986064103155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20239606)-sin(-1.20241333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360123494875017-0.360107383558171)×R²
    abs(1.97557551-1.97552757)×1.61113168459792e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.61113168459792e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.61113168459792e-05×40589641000000     		ar = 12101.7260844369m²