Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 106742 / 100614
↖ ↑ ↗
← S 68.916934°
E113.175659°		 ← 109.85 m → S 68.916934°
E113.178406°		 →
↑
109.90 m
↓
↑
109.90 m
↓
S 68.917922°
E113.175659°		 ← 109.84 m →
12 072 m²		 S 68.917922°
E113.178406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814380645751953 y=0.767627716064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814380645751953 × 217)
    floor (0.814380645751953 × 131072)
    floor (106742.5)     		tx = 106742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767627716064453 × 217)
    floor (0.767627716064453 × 131072)
    floor (100614.5)     		ty = 100614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106742 / 100614 ti = "17/106742/100614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106742/100614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106742 ÷ 217
    106742 ÷ 131072     		x = 0.814376831054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100614 ÷ 217
    100614 ÷ 131072     		y = 0.767623901367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814376831054688 × 2 - 1) × π
    0.628753662109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.97528789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767623901367188 × 2 - 1) × π
    -0.535247802734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.68153056487233
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97528789} λ = 1.97528789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68153056487233))-π/2
    2×atan(0.186088936769759)-π/2
    2×0.18398446202008-π/2
    0.36796892404016-1.57079632675     		φ = -1.20282740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97528789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.175659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20282740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.916934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106742 KachelY 100614 1.97528789 -1.20282740 113.175659 -68.916934
    Oben rechts KachelX + 1 106743 KachelY 100614 1.97533582 -1.20282740 113.178406 -68.916934
    Unten links KachelX 106742 KachelY + 1 100615 1.97528789 -1.20284465 113.175659 -68.917922
    Unten rechts KachelX + 1 106743 KachelY + 1 100615 1.97533582 -1.20284465 113.178406 -68.917922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20282740--1.20284465) × R
    1.72499999999687e-05 × 6371000     		dl = 109.8997499998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20282740--1.20284465) × R
    1.72499999999687e-05 × 6371000     		dr = 109.8997499998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97528789-1.97533582) × cos(-1.20282740) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.359721062298579 × 6371000     		do = 109.845153817318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97528789-1.97533582) × cos(-1.20284465) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.359704966961966 × 6371000     		du = 109.840238912656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20282740)-sin(-1.20284465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359721062298579-0.359704966961966)×R²
    abs(1.97533582-1.97528789)×1.60953366122873e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.60953366122873e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.60953366122873e-05×40589641000000     		ar = 12071.684869968m²