Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10674 / 5821
↖ ↑ ↗
← N 81.363762°
W121.365967°		 ← 91.72 m → N 81.363762°
W121.360474°		 →
↑
91.74 m
↓
↑
91.74 m
↓
N 81.362937°
W121.365967°		 ← 91.72 m →
8 415 m²		 N 81.362937°
W121.360474°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162879943847656 y=0.0888290405273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162879943847656 × 216)
    floor (0.162879943847656 × 65536)
    floor (10674.5)     		tx = 10674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0888290405273438 × 216)
    floor (0.0888290405273438 × 65536)
    floor (5821.5)     		ty = 5821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10674 / 5821 ti = "16/10674/5821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10674/5821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10674 ÷ 216
    10674 ÷ 65536     		x = 0.162872314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5821 ÷ 216
    5821 ÷ 65536     		y = 0.0888214111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162872314453125 × 2 - 1) × π
    -0.67425537109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.11823572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0888214111328125 × 2 - 1) × π
    0.822357177734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.58351126812331
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11823572} λ = -2.11823572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58351126812331))-π/2
    2×atan(13.2435582992827)-π/2
    2×1.49543093435257-π/2
    2.99086186870514-1.57079632675     		φ = 1.42006554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11823572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.365967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42006554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.363762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10674 KachelY 5821 -2.11823572 1.42006554 -121.365967 81.363762
    Oben rechts KachelX + 1 10675 KachelY 5821 -2.11813985 1.42006554 -121.360474 81.363762
    Unten links KachelX 10674 KachelY + 1 5822 -2.11823572 1.42005114 -121.365967 81.362937
    Unten rechts KachelX + 1 10675 KachelY + 1 5822 -2.11813985 1.42005114 -121.360474 81.362937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42006554-1.42005114) × R
    1.439999999997e-05 × 6371000     		dl = 91.7423999998088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42006554-1.42005114) × R
    1.439999999997e-05 × 6371000     		dr = 91.7423999998088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11823572--2.11813985) × cos(1.42006554) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.150160673352549 × 6371000     		do = 91.7163028186997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11823572--2.11813985) × cos(1.42005114) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.150174910064113 × 6371000     		du = 91.7249984280083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42006554)-sin(1.42005114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150160673352549-0.150174910064113)×R²
    abs(-2.11813985--2.11823572)×1.42367115645026e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.42367115645026e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.42367115645026e-05×40589641000000     		ar = 8414.67261797097m²