Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10674 / 12113
↖ ↑ ↗
← S 64.932853°
E 54.536133°		 ← 1 035.14 m → S 64.932853°
E 54.558105°		 →
↑
1 034.97 m
↓
↑
1 034.97 m
↓
S 64.942160°
E 54.536133°		 ← 1 034.78 m →
1 071 153 m²		 S 64.942160°
E 54.558105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.651519775390625 y=0.739349365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.651519775390625 × 214)
    floor (0.651519775390625 × 16384)
    floor (10674.5)     		tx = 10674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739349365234375 × 214)
    floor (0.739349365234375 × 16384)
    floor (12113.5)     		ty = 12113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10674 / 12113 ti = "14/10674/12113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10674/12113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10674 ÷ 214
    10674 ÷ 16384     		x = 0.6514892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12113 ÷ 214
    12113 ÷ 16384     		y = 0.73931884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6514892578125 × 2 - 1) × π
    0.302978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.95183508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73931884765625 × 2 - 1) × π
    -0.4786376953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.50368466728192
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95183508} λ = 0.95183508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50368466728192))-π/2
    2×atan(0.222309512582817)-π/2
    2×0.218752126915067-π/2
    0.437504253830134-1.57079632675     		φ = -1.13329207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95183508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.536133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13329207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.932853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10674 KachelY 12113 0.95183508 -1.13329207 54.536133 -64.932853
    Oben rechts KachelX + 1 10675 KachelY 12113 0.95221857 -1.13329207 54.558105 -64.932853
    Unten links KachelX 10674 KachelY + 1 12114 0.95183508 -1.13345452 54.536133 -64.942160
    Unten rechts KachelX + 1 10675 KachelY + 1 12114 0.95221857 -1.13345452 54.558105 -64.942160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13329207--1.13345452) × R
    0.000162449999999925 × 6371000     		dl = 1034.96894999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13329207--1.13345452) × R
    0.000162449999999925 × 6371000     		dr = 1034.96894999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95183508-0.95221857) × cos(-1.13329207) × R
    0.000383490000000042 × 0.423680113063164 × 6371000     		do = 1035.14151846491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95183508-0.95221857) × cos(-1.13345452) × R
    0.000383490000000042 × 0.42353295833346 × 6371000     		du = 1034.78198785288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13329207)-sin(-1.13345452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423680113063164-0.42353295833346)×R²
    abs(0.95221857-0.95183508)×0.000147154729704502×R²
    0.000383490000000042×0.000147154729704502×6371000²
    0.000383490000000042×0.000147154729704502×40589641000000     		ar = 1071153.28131209m²