Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10673 / 6547
↖ ↑ ↗
← N 80.743842°
W121.371460°		 ← 98.24 m → N 80.743842°
W121.365967°		 →
↑
98.24 m
↓
↑
98.24 m
↓
N 80.742958°
W121.371460°		 ← 98.25 m →
9 652 m²		 N 80.742958°
W121.365967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162864685058594 y=0.0999069213867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162864685058594 × 216)
    floor (0.162864685058594 × 65536)
    floor (10673.5)     		tx = 10673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0999069213867188 × 216)
    floor (0.0999069213867188 × 65536)
    floor (6547.5)     		ty = 6547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10673 / 6547 ti = "16/10673/6547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10673/6547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10673 ÷ 216
    10673 ÷ 65536     		x = 0.162857055664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6547 ÷ 216
    6547 ÷ 65536     		y = 0.0998992919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162857055664062 × 2 - 1) × π
    -0.674285888671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.11833159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0998992919921875 × 2 - 1) × π
    0.800201416015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.51390688987498
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11833159} λ = -2.11833159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51390688987498))-π/2
    2×atan(12.3530980995193)-π/2
    2×1.49002111018008-π/2
    2.98004222036017-1.57079632675     		φ = 1.40924589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11833159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.371460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40924589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.743842°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10673 KachelY 6547 -2.11833159 1.40924589 -121.371460 80.743842
    Oben rechts KachelX + 1 10674 KachelY 6547 -2.11823572 1.40924589 -121.365967 80.743842
    Unten links KachelX 10673 KachelY + 1 6548 -2.11833159 1.40923047 -121.371460 80.742958
    Unten rechts KachelX + 1 10674 KachelY + 1 6548 -2.11823572 1.40923047 -121.365967 80.742958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40924589-1.40923047) × R
    1.54199999999882e-05 × 6371000     		dl = 98.240819999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40924589-1.40923047) × R
    1.54199999999882e-05 × 6371000     		dr = 98.240819999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11833159--2.11823572) × cos(1.40924589) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160848648017245 × 6371000     		do = 98.2443870299657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11833159--2.11823572) × cos(1.40923047) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160863867215598 × 6371000     		du = 98.2536827301889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40924589)-sin(1.40923047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160848648017245-0.160863867215598)×R²
    abs(-2.11823572--2.11833159)×1.52191983530392e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.52191983530392e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.52191983530392e-05×40589641000000     		ar = 9652.0657509961m²