Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106727 / 44315
↖ ↑ ↗
← N 50.241936°
E113.134460°		 ← 195.33 m → N 50.241936°
E113.137207°		 →
↑
195.33 m
↓
↑
195.33 m
↓
N 50.240179°
E113.134460°		 ← 195.34 m →
38 156 m²		 N 50.240179°
E113.137207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814266204833984 y=0.338100433349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814266204833984 × 217)
    floor (0.814266204833984 × 131072)
    floor (106727.5)     		tx = 106727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338100433349609 × 217)
    floor (0.338100433349609 × 131072)
    floor (44315.5)     		ty = 44315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106727 / 44315 ti = "17/106727/44315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106727/44315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106727 ÷ 217
    106727 ÷ 131072     		x = 0.814262390136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44315 ÷ 217
    44315 ÷ 131072     		y = 0.338096618652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814262390136719 × 2 - 1) × π
    0.628524780273438 × 3.1415926535     		Λ = 1.97456883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338096618652344 × 2 - 1) × π
    0.323806762695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.01726894683721
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97456883} λ = 1.97456883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01726894683721))-π/2
    2×atan(2.76563135437106)-π/2
    2×1.22384176179117-π/2
    2.44768352358234-1.57079632675     		φ = 0.87688720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97456883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.134460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87688720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.241936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106727 KachelY 44315 1.97456883 0.87688720 113.134460 50.241936
    Oben rechts KachelX + 1 106728 KachelY 44315 1.97461677 0.87688720 113.137207 50.241936
    Unten links KachelX 106727 KachelY + 1 44316 1.97456883 0.87685654 113.134460 50.240179
    Unten rechts KachelX + 1 106728 KachelY + 1 44316 1.97461677 0.87685654 113.137207 50.240179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87688720-0.87685654) × R
    3.06599999999602e-05 × 6371000     		dl = 195.334859999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87688720-0.87685654) × R
    3.06599999999602e-05 × 6371000     		dr = 195.334859999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97456883-1.97461677) × cos(0.87688720) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.639547209463264 × 6371000     		do = 195.334179715124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97456883-1.97461677) × cos(0.87685654) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.639570779093585 × 6371000     		du = 195.341378486907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87688720)-sin(0.87685654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639547209463264-0.639570779093585)×R²
    abs(1.97461677-1.97456883)×2.35696303207966e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35696303207966e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35696303207966e-05×40589641000000     		ar = 38156.2777363027m²